CHAPITRE PREMIER

DES COURBES CONJUGUÉES SUIVANT LEURS TANGENTES CON COURANTES EN UN POINT D'UNE COURBE DIRECTRICE.

§ L — FOBHULES GÉNÉRALES.

80. Définitions. — Si d'un point quelconque d'une courbe directrice PQ on mène une tangente à chacune de deux courbes données MN, MiNi, ces deux tangentes ne seront pas arbi< traireSy elles seront liées par une certaine loi F = o, qui dépendra de la nature des trois courbes et de leurs positions respectives. Nous dirons que ces deux tangentes sont conjuguées par rapport à un point de la directrice, d'après la loi F, et que les deux courbes MN, M, Ni sont conjuguées s\x\s2inx deux tangentes concourantes en un point de la directrice. Pour chaque couple de tangentes, les points de contact seront dits points conjugués. Le point de concours des deux tangentes et chacun des points de contact seront nommés points correspondants.

Si les arcs de courbe tels que MN sont au nombre de n, on aura un faisceau de n tangentes conjuguées par rapport à un point de la directrice, d'après la loi F, et ces n arcs de courbe sont conjugués suivant n tangentes concourantes en un point de la directrice. Pour chaque faisceau les n points de contact sont conjugués entre eux. Le sommet du faisceau et

ÏO.

l48 LIVRE II. — GOUmBBS RAPPORTfiBS À DES SYSTfclIESy ETC.

chacun dçs points de contact sont nommés points correspondants.

Certains arcs de courbe peuvent appartenir à une seule et même courbe, ou à des courbes différentes, suivant la nature de la question à résoudre.

Notations, — Nous conservons les notations exposées dans le n** 4<6; mais, pour distinguer les unes des autres les diverses courbes conjuguées entre elles^ nous affecterons d'un indice marquant le rang de la courbe toutes les quantités géonaétriques relatives à cette courbe.' Lorsque nous nous servirons du signe abréviatif 2» nous n'affecterons d'aucun indice la lettre placée sous ce signe, et nous entendrons par là qu'elle se rapporte à un rang quelconque, de sorte que, dans la sommation, il faudra affecter cette lettre successivement de tous les indices, depuis i jusqu'à n.

Lorsqu'il existe n équations semblables à une équation dont te type est donné, nous écrivons celte équation une seule fois; nous n'affectons d'aucun accent les lettres relatives à cette équation, et nous écrivons à droite entre deux parenthèses la lettre n, (/i), de sorte que toutes les équations du type s'obtiendront en écrivant n fois l'équation, en affectant les lettres successivement des accents 1,2,... jusqu'à w.

81. Problème I. — n courbes sont conjuguées suivant n tangentes concourantes en un point de la directrice; les angles que ces n tangentes font en leur point de concours avec la tangente à la directrice sont liés par la relation

(1) F(ai, «„ Û3,. . ., Un) =c;

c étant une constante, trouver les lois d'après lesquelles sont conjugués les points de contact, les rayons de courbure, les aires et les arcs de ces n courbes.

On a les équations suivantes se rapportant à une courbe quelconque :

, . . rdt d<T — dr sin« 1 da . ,

as ds r R ds ^ ^

CHàPITU I. — DES COURBBS CONJUGUÉES, BTO. l49

Points de contact. — Si Ton dififérentie Téquation (i)par rapport aux angles a .et qu'on élimine les da au moyen des équations renfermées dans le troisième groupe précédent, on obtient les relations

' Rde-i j Dda. {n)

Si la courbe directrice et (n — i) courbes sont connues, cette équation, jointe à l'équation (i), fait connaître a^, Cn, rn, c'est-à-dire les coordonnées tangentielles de la n'*"' courbe.

Rayons de courbure. — Si l'on différentie la troisième des équations (2), et que Ton pose pour abréger

dt-'' rfê-^' rf^-^' ^"^

I /cosa r'\ R' D' , .

ri"D-^N^j^R3-^ïP=^"' ^""^

en multipliant les n équations contenues dans ce type, respectivement par les dérivées de F par rapport à ai, <i3,. . . , a^y et en ajoutant, on trouve l'équation

YrfFri^/cosa^'\ R' D^n 2Ldalr\ D N'j "^ R» "^ D0"~ ""•

or, si Ton différentie l'équation (3] ou son égale représentée par la relation

on obtient l'équation

Zuda D^~'2jLÏ> ^« \2dda)y on peut écrire symboliquement le second membre sous la

on aura

l5o LIVRE II. — GOURBBS miPPORTtBS A D£8 STSTfcMlS, ETC.

forme ( \î\ ;j") ^» pourvu que, lorsqu'on aura efiectué les opérations, on regarde les exposants comme des indices de différentiation. D'après cela, l'élimination de \ t— rr^ entre les deux dernières équations donne l'équation

{^\ \ d^ f f'' cosa\W\^d¥ f^ i dy

Si la courbe directrice et (n — i) courbes conjuguées sont connues, cette équation, jointe aux équations (i) et (2), fait connaître le rayon de courbure de la »*•"•• courbe.

Aires. — Si l'on remarque que l'équation (3") du n* 48 donne la relation suivante :

et qu'on multiplie les n équations contenues dans ce type, respectivement par les dérivés de F par rapport à ai, as,..., a» et qu'on ait égard à l'équation (3'), on obtiendra l'équation

Y sin'a d¥ t y rfF ' ^ du da rfc ^ da '

qui exprime la loi d'après laquelle sont conjuguées les aires dux^ duty . . . , dum*

Arcs. — Si l'on écrit la deuxième des équations (2} sous la forme

Dcosa

= rfa, ( n )

et qu'on ajoute les n équations contenues dans ce type, après les avoir multipliées par les dérivées de F par rapport à a., as, ... , a«, on aura la relation

/ft^ X'd^ d(<T-r) ^

GHAPITRS I. — DBS COURBES CONJUGUÉES, ETC. l5l

qui exprime la loi d'après laquelle les arcs de n courbes sont conjugués.

11 nous faut maintenant montrer comment les équations précédentes font connaître toutes les particularités de la courbe cherchée.

Soient donc connues la directrice s et (n — i) courbes conjuguées, la n'*"* sera aussi connue. En effet, s étant connue, les coordonnées d'un point de cette courbe sont des fonctions de la variable e qui fixe la position du point. Les équations contenues dans le type (4)> jointes à l'équation (i), font connaître les angles tels qua a en fonction de e;«on connaît donc a„ en fonction de e. D'une autre part, le type contenu dans la troisième des équations (2) donne (/i — i) équations qui, jointes à l'équation (3), donnent les r en fonction de e; r„ est donc connue en fonction de celte variable. On a donc les coordonnées a„ et r» de la n*^"^ courbe dn en fonction du paramètre e qui fixe la position du point sur la directrice, ce qui est la solution de la question.

§ II. — Des courbes conjuguées d'après la loi 2Aa=:const.

82. Problème II. — n courbes sont conjuguées suivant n tangentes concourantes en un point d'une courbe directrice^ de telle sorte que les arcs de cercle décrits de ce point comme centre avec des rayons Ai, Aj, . . . , A„, et compris entre chacune de ces tangentes et la tangente à la directrice, donnent une somme constante. Trouver les lois qui régissent ces courbes.

Loi des tangentes. — La condition qui lie les arcs de cercle est

(i) 2Aai^const.;

d'après cela, la loi des tangentes est donnée par Tune ou l'autre des équations

Loi des rayons de courbure. — On trouve sans difficulté la suivante :

or si Ton conçoit le quadrilatère relatif à une courbe o-, dont trois côtés sont parallèles à Jl, R, R', et dont les longueurs sont représentées par Jl, et les coefficients de cosa^ sina, la partie entre accolades représentant la projection P du quatrième côté de ce quadrilatère sur ^, Téquaticn précédente s'écrira. sous la forme simple

de laquelle on déduit, par une construction géométrique, le y^ièmt ^gg rayons de courbure des n courbes conjuguées lorsque les autres sont connus.

Loi des aires. — Cette loi est donnée par la formule suivante :

Loi des arcs. — Elle est exprimée par la relation suivante :

cosa

Les conséquences des formules précédentes sont très-nombreuses; mais comme elles ont déjà été développées dans notre livre Sur Vanalyse infinitésimale des courbes tracées sur une surface quelconque^ page 3oo, c'est à ce livre que nous renvoyons le lecteur.

83. Discussion des formules précédentes. — Contentonsnous de l'examen des cas suivants :

!• Cas où la directrice est rectiligne. — Lorsque la directrice est rectiligne, les formules précédentes se simplifient;