CHAPITRE I. — DES COURUES CONJUGUÉES, ETC. l

en effet» on a R infini et conséquemment N = D; d'après cela, on obtient les relations suivantes :

Loi des tangentes.

Loi des rayons de courbure.

^ ' 2^N»sinfl "^ IN»

2*» Cas où 2A = o. — Dans le cas d'une directrice quelconque, si la somme des coefficients tels que A est nulle, on obtient les formules qui suivent :

Loi des tangentes. — Elle est aussi donnée par la formule (2) du présent numéro; en effet, cette équation est la conséquence de la condition

. da VA

Loi des rayons de courbure.

Loi des aires.

(6) Z^-dT^'"'

§ m. ^ Des caustiques par réflexion.

84. Problème III. — Un point lumineux se meut sur l'une des deux courbes conjuguées et projette sa lumière tangentiellement à cette courbe; la courbe enveloppe de ce rayon lumineux réfléchi par la courbe s sera appelée caustique par réflexion. Trouver les lois qui régissent ces caustiques.

l54 LIVRE II. — COURUS RArPORTfiBS À DES SfSTfeHBS, ETC.

Les données de la question sont

Coordonnées tangent ielles. — Elles sont pour la première courbe

{2) s=: 1 l\det= j D, rfa,, '". = g — g-sina,.

Or Ton a, par suite des données de la question, les relations

r, ra~~Rsina,' Ni N, ~"R*

On connaît donc aussi les coordonnées tangentielles de la seconde courbe, soit analytiquement, soit géométriquement. On voit que r, se construit par la proportion harmonique; et Ton sait que pour R = 2N,, Ni devient infini, et que pour des valeurs plus grandes il devient négatif.

Rayons de courbure. — La formule (5) du n** 82 devient, par suite de l'hypothèse présente,

^1 / I I \ cos«,

Nîsina. ~\NT^BÏ>1>/ slnô;

^, /j I \cosa, 2R'

■*" NJsina, "^ \N| "" RD.j'sïnâ; "" "R^'

Or si Ton remarque que :j^ ~ ^ = yr- et que par suite ( N^ ~ N^) ~ ^n"' ^^ obtient l'équation simplifiée

.^ ^, Jlî 6cosai 2R'sîn«,

^^ Nî"^Nl RDT"" ^

Si la courbe directrice, qui est ici la courbe réfléchissante»

CHAPnRK I. <— DBS COURBES GOHJUGUfiES, BTG. l55

est un cercle, on a

«'R., Jl, 6cosa,

Nf NJ — KD, Si c'est une ligne droite, on trouve

Dans le cas où Tune des deux courbes conjuguées, la courbe o-,, par exemple, est un point, la formule relative aux rayons de courbure devient

^2 — 6 g~- cosa, -f- 2 -j-j- sina,.

Loi des aires. — Elle est exprimée par la relation (6) • ' =^

duy dUi sin^aidv

Loi des arcs. — On trouve sans difficulté l'équation suivante

d((Ty — n)-{- d(<T, — Ta)--- o;

ou, en l'intégrant, si Ton représente par (o-,), (ti), (o-j)» (ra)les valeurs initiales de <t„ r,, (ji, r„ on obtient

(7) [or,— (cr,)j-[r, — (r.)]-r [(t,-'{(7,)] — [r,-{r,)]=: o.

Sous cette forme on voit que, si l'une des courbes est rectlQable, sa conjuguée l'est aussi.

Si l'on conçoit un fil de longueur constante {fig. ii) fixé par chacune de ses extrémités à deux points correspondants des courbes conjuguées a., art, et tendu par un style de manière à s'enrouler ou se dérouler sur ces deux courbes, le style se trouvant dans une position sur la directrice, il restera constamment sur cette directrice et la décrira dans son mouvement. Les arcs sont de même signe lorsque les fils s'enve-

l56 LIVRE II. — COURBES RAPPORTfiSS À DBS STSTftBBS» ETC.

loppent à la fois; ils sont de signes contraires lorsqu'un Hi s'enveloppe et l'autre se développe;

Il faut remarquer que les courbes (7i, o-i sont réciproques Tune de l'autre, de sorte que, si le point lumineux parcourt la courbe 77 en projetant sa lumière tangentiellement à cette courbe, la caustique par réflexion sera o-i.

85. Des développantes des caustiques par réflexion. — Considérons {fig* 22) deux développantes ai 2,, o-ai, des arcs

Fig. 23.

iX" w, ^r.

oi)iO-i, 6)2 0*3, lesquelles passent par deux points correspondants ffi, 0*3 de ces deux arcs; si l'on admet que l'une de ces