CHAPITRE y. — DES G0UEBE8 CONJUGUÉES, ETC. l

deux développantes, di 2t, est une courbe lumineuse projetant la lumière suivant ses normales» et que la courbe s est la courbe réfléchissante, la rencontre des rayons incidents produit la développée G>)icri, et le lieu des rayons réfléchis par la courbe s produit la caustique par réflexion ah o-j. De même, en considérant 0-3 2, comme une courbe lumineuse, le lieu des rayons incidents sera la développée ca, (Xj, et la courbe w, o-, sera la caustique par réflexion. On regarde les deux courbes lumineuses comme conjuguées par rapport à la courbe réfléchissante, et régalité (7) du numéro précédent prouve que la somme des rayons conjugués de ces deux courbes lumineuses par rapport à la courbe réfléchissante s, comptés à partir des deux développantes o-i^i, o-s^^, est constante.

Concevons que, par un point M de cette courbe réfléchissante, on mène une tangente à cette courbe, et que l*on prenne les courbes symétriques par rapport à cette tangente, et de la courbe réfléchissante s et de la courbe lumineuse o", 2„ et qu'ensuite on fasse rouler sur la courbe réfléchissante sa courbe symélrique, de telle sorte qu'elle entraîne dans son mouvement le plan qui la contient, la courbe symétrique de 0-1 2, enveloppera dans ce mouvement une courbe dont le rayon de courbure sera la somme du rayon réfléchi ra et de son prolongement; et, par conséquent, cette courbe enveloppe aura pour développée wjo-a, caustique par réflexion de la courbe lumineuse w, o-,. Celle enveloppe (t\1\ et la courbe (7,22 sont donc deux courbes développantes de la caustique par réflexion de la courbe lumineuse o-i 2i.

Il est inutile de remarquer que l'on peut faire la même construction sur la courbe lumineuse conjuguée o-j 2„ et que l'on obtiendra des résultats réciproques des précédents.

Si, dans les différentes positions de la courbe symélrique de w, 0-,, on mène des tangentes communes à cette courbe symélrique et à la courbe coa or,, le lieu des points de contact pris sur la courbe symétrique de Wi cr, est le lieu des symétriques des centres de courbure de la développante de (7i2,.

Si la courbe w, cr, se réduit à un point, le lieu des symétriques de ce point est une développante de la courbe wa o-a. 'Tout cercle dont ce point est le centre étant une dévelop-

l58 LIVRE II. — COURBES RAPFORTfiBS A DES SYSTlHUSSy ETC.

panie de ce point» enveloppe» après le retournement, deux arcs de courbe qui appartiennent à une double développante de la courbe eo, du

Si le point passe à l'infini dans une direction donnée» la développante correspondante passe à Tinfini» et toute droite perpendiculaire à cette direction a pour correspondante une développante de la courbe &>) cs.

86. Caustique d'une droite lumineuse^ — Dans ce cas» les rayons incidents ont une direction invariable, et celle circonstance simplifie les équations du problème.

Rayon réfléchi. — Soit Ar, la direction {fig, 23) du rayon

Fig. 23.

incident» Ar, celle du rayon réfléchi; ce dernier rayon est donné par Téquation

ra=r - sma,.

Soit (3 Fangle que le rayon incident fait avec une perpendi • culaire à Taxe Ojt» on a les deux équations

a,4-e-+-(3=:^, Rrz:^=:(p(e);

par suite» la valeur du rayon réfléchi est donnée par la relation

/•ai=- - (p(«)cos(e-+- P).

Lorsque (3 prend toutes les valeurs possibles» ax prend aussi toutes les valeurs possibles; ou voit donc que» lorsque la

GHAPlTftB I. — BBS COURBES CONJUGUÉES, ETC. iSg

droite lumineuse varie d'une manière quelconque, l'image réfléchie par un point de la courbe réfléchissante se meut sur

une circonférence de cercle dont le diamètre est - •

Coordonnées rectangles. — Soient ^, j les coordonnées du point pris sur la courbe, et x\ f les coordonnées de Textrénoité du rayon réfléchi; on a les relations

X — X' ^=. Ta sin{2<?H- (3), y — y z=L r2Cos(2eH- (3);

/ N ' ràs .

(^) { x~l --T-cosedef

j— I -r- sxnede.

On a donc les coordonnées x'j y en fonction de la variable e, et en éliminant e entre ces deux dernières équations, on obtient l'équation de la courbe dans le système cartésien.

Rayon de courbure. — Dans le cas où la courbe o", se réduit à un point, on a Jli nul, et, par suite, on obtient la relation

, ,, ^, ^ cosa, iW ,

Si ce point se transporte à l'infini, la formule

devient

sina,

Conséquemmeni, si on élimine D. entre cette équation et l'équation (4)> on obtient la nouvelle relation

(5) N^ ^ rT ^^^^' ~ "rT s»n«i-

l6o LIVRB il. — COURBES RAPPORTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.

Or on a R = 'îNs; Téquation précédente deviendra donc

4^, = 3Rcosai — R'sinrz, ;

de là on tire le théorème suivant :

Théorème. — Au point A [fig* 24) P'*'* ^^'^ ^^ courbe ré/léchissante, et dans la direction du rayon de courbure^ prenez

Fig. i\.

une longueur AB égale à trois fois ce rayon; au point B menez une perpendiculaire BC égale au rayon de courbure de la développée ; sur la sixième de AB comme diamètre, décrivez un cercle, et «wrCD comme diamètre ^ décrivez un autre cercle. Cela posé, si du point A Von mène AE sous ^inclinaison cr, avec la tangente AT, AE est le rayon tangentiel de la caus-tique, et EF est égal à quatre fois le rayon de courbure de cette caustique.

Équation naturelle de la caustique, — Soit <p(e) = R Véquation élémentaire de la courbe réfléchissante rapportée à un axe 0^ parallèle à la droite lumineuse, on a les relations