CHAPITRE I. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC. f

par suite, réquation précédente deviendra

De là on conclut que la caustique est une cycloïde dont le

cercle générateur a pour diamètre — •

Deuxième cas. — La droite réfléchissante ayant une position quelconque par rapport à Taxe de la cycloïde, soit p l'angle de cette droite avec Taxe, on obtient l'équation naturelle de la caustique

3 cosi y-~-)sin( T-^-|

et, après réductions,

-j~ -- m cossa H — smô,

équation qui représente une courbe parallèle de là cycloîde

engendrée par le cercle dont le diamètre est --r^ ou» ^^ Qui est

la même chose, une développante de cycloïde.

3® La courbe réfléchissante est une chatnette. On a ( n^ 29 ) réquation naturelle de la chatnette

ds b

de sin'e' conséquemment on a les deux relations

. 6 cos ( 7 — -

sm* (-" — - — 7 I sin» T — -

l64 LIVRE II. — COURBES RAPPORTÉES À DES SYSTÈMES, ETC.

par suite, la formule ( 5 ) du n"" 86 donne

d(Ti b 5cos(3 — sine»

qui est l'équation élémentaire de la caustique.

88* Applications (sxxiXe). — 4** Hypocycloide. Considérons rhypocycloTde dont l'équation naturelle est

(i) ^ = 8Rcos(3^-f-y),

dans laquelle R et y sont des constantes.

Nous avons trouvé l'équation

4^2==— 9é(e)cos(e-i-(3) -f- 3<p(e)sin(e + (3);

elle devient

^2=:6Rsin(4e-+- (3 -h y),

et, ayant égard à la relation

4e=:2(e2 — P) — TT,

on obtient

ddi

(2) ~^ = 6RcosU£2~(3-4-y-h^j;

or réquation élémentaire de Thypocycloïde engendrée par un cercle de diamètre égal à p, — pi et roulant sur un cercle pa

est (no 59)

/ ^ . ds p\ — pî p,

(3) 1-=— ^cos^^,.

dex p, p,

Pour identifier cette équation avec l'équation ( i ), il faut poser

pj = 3R, pi=R,

avec la condition