CHAPITRE I. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC. l
pour identifier la même équation avec l'équation (2), il faut
poser
avec la condition
2 19. =r 2 gj
Ainsi la première hypocycloYde est formée par un cercle de rayon R qui roule sur la concavité d'un cercle de rayon triple, el la deuxième hypocycloYde est formée par un cercle de rayon 2R qui roule sur la concavité d'un cercle de rayon double. De là on conclut :
La caustique d'une hypocycloide engendrée par un cercle de rayon R roulant sur la concavité d'un autre cercle de rayon triple est une hypocyclolde engendrée par un cercle de rayon R qui roule sur la concavité d'un cercle de rayon quadruple.
5® La courbe réfléchissante est une parabole. — Supposons en premier lieu l'axe parallèle à la ligne lumineuse AB (fig. 25).
Fig. 25.
En employant la notation du n** 20, on a l'équation de la parabole en coordonnées rectangles et l'équation en coordonnées naturelles
^ ' "^ \2 y sm'e
on déduit de ces équations les suivantes :
yz=zb cote, X
2 sin'e
MN
sme
t66 LITRE II. — COURBES RAPPORTÉES À DBS STSTfcHBS, ETC.
le rayon réfléchi aura donc Tune des deux formes suivantes :
,,,. R b cose
(3') r,= -cose, r, = --:-— •
Coordonnées rectangles de la caustique. — Soient a:', /' ces coordonnées, on a les équations
(4') Jc' :-. X -^ rtSinie, ^'^t*— r^cosa^.
Donc, si Ton élimine de ces équations j? et j au moyen des précédentes, on obtient les valeurs des coordonnées x' et y' en fonction de e
(5') x'= — — -(3 — asm'e), f ~bcoie[- — )•
L'équation de la courbe en coordonnées rectangles s'obtient par rélimination de e entre ces deux équations; on trouve ainsi
(6') 7.^x* = {Sb -- xy(ix — b).
Supposons en second lieu la droite réfléchissante ayant une position quelconque par rapport à Taxe de la parabole, et soit |3 Tangle que la perpendiculaire à cette droite réfléchissante forme avec l'axe des y^ on aura les formes suivantes du rayon réfléchi r, :
/ /. R /o X 6cos(6-4-^) cos(3 . ^
(7') r2= -cos(P -\-e) = V-T = r — r-7 x sm^.
Gonséquemment les coordonnées rectangles de la caustique seront
/ , * r cos(g -t- P)sin(2 g-t- (3)")
\ 2sm»«L sin« J
^ , b Y cos{fî-l-(3)cos(2«-f- 6)1 y=^- — cose ^ ^' . ■ ^ •
Rayon de courbure. — Nous trouvons, en faisant usage de
