CHAPITRE V. — «ES COURBES CONJUGUÉES, ETC. iSy

deux développantes, (7,2,, est une courbe lumineuse projetant la lumière suivant ses normales, et que la courbe s est la courbe réfléchissante, la rencontre des rayons incidents produit la développée co,<t,, et le lieu des rayons réfléchis par la courbe s produit la caustique par réflexion ws 0-2. De même, en considérant o-j^z comme une courbe lumineuse, le lieu des rayons incidents sera la développée wj (7-2, et la courbe w, o-, sera la caustique par réflexion. On regarde les deux courbes lumineuses comme conjuguées par rapport à la courbe réfléchissante, et régalité (7) du numéro précédent prouve que la somme des rayons conjugués de ces deux courbes lumineuses par rapport à la courbe réfléchissante s, comptés à partir des deux développantes o-,2,, o-a^j, est constante.

Concevons que, par un point M de cette courbe réfléchissante, on mène une tangente à cette courbe, et que l'on prenne les courbes symétriques par rapport à cette tangente, et de la courbe réfléchissante s et de la courbe lumineuse o-, 2,, et qu'ensuite on fasse rouler sur la courbe réfléchissante sa courbe symétrique, de telle sorte qu'elle entraîne dans son mouvement le plan qui la contient, la courbe symétrique de (7, 2, enveloppera dans ce mouvement une courbe dont le rayon de courbure sera la somme du rayon réfléchi Ta et de son prolongement; et, par conséquent, cette courbe enveloppe aura pour développée 0)2 0*2, caustique par réflexion de la courbe lumineuse w, o-,. Celte enveloppe (j\1\ et la courbe 0-2 22 sont donc deux courbes développantes de la caustique par réflexion de la courbe lumineuse o-, 2,.

Il est inutile de remarquer que l'on peut faire la même construction sur la courbe lumineuse conjuguée 0-222, et que l'on obtiendra des résultats réciproques des précédents.

Si, dans les diff'érentes positions de la courbe symétrique de 0), 0-,, on mène des tangentes communes à cette courbe symétrique et à la courbe &J2 «72, le lieu des points de contact pris sur la courbe symétrique de co, o-, est le lieu des symétriques des centres de courbure de la développante de <7, 2,.

Si la courbe w, o-, se réduit à un point, le lieu des symétriques de ce point est une développante de la courbe 032 <72.

Tout cercle dont ce point est le centre étant une dévelop-

l58 LIVRE II. — COURBES RAPPORTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.

pante de ce point, enveloppe, après le relournemeni, deux arcs de courbe qui appartiennent à une double développante de la courbe WîO-j.

Si le point passe à Tintini dans une direction donnée, la développante correspondante passe à l'infini, et toute droite perpendiculaire à cette direction a pour correspondante une développante de la courbe wj 0-2.

86. Caustique d'une droite lumineuse, — Dans ce cas, les rayons incidents ont une direction invariable, et cette circonstance simplifie les équations du problème.

Rayon réfléchi. — Soit Ar, la direction (fig.iZ) du rayon

Fig. 23.

incident, Ar^ celle du rayon réfléchi; ce dernier rayon est donné par l'équation

Tj^r - sinrt,.

Soit (3 l'angle que le rayon incident fait avec une perpendiculaire à l'axe Ox, on a les deux équations

^ t: ^^ ds , , par suite, la valeur du rayon réfléchi est donnée par la relation

(i) r, — - (p(e)cos(e-4- j3).

Lorsque (3 prend toutes les valeurs possibles, <:/, prend aussi toutes les valeurs possibles; on voit donc que, lorsque la