CHAPITRE I. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC

est un cercle, on a Bt ,^, <Rj 6cos«,

Nf N^ Kl).

Si c'est ime ligne droite, on trouve

Dans le cas où Tune des deux courbes conjuguées, la courbe o-,, par exemple, est un point, la formule relative aux rayons de courbure devient

^2 — 6 ^ cos«, -+- 2 ~— ~ sinfl,.

Loi des aires. — Elle est exprimée par la relation

If* \ •■ * -^

dux dui s'in' aydv

Loi des arcs. — On trouve sans difficulté l'équation suivante

^ ( 0-. — /'. ) -i- d{ t7-2 — ri ) ~- G ;

ou, en l'intégrant, si l'on représente par (o-,), (r,), (o-i), (r,)les valeurs initiales de a-,, r,, œ,, r-i, on obtient

(7) [<7,— {c7,)j - [/^ -(r.)' -^ io-2-(cr,)j — [r,-{r,)]-^^o.

Sous cette forme on voit que, si l'une des courbes est reclifiable, sa conjuguée l'est aussi.

Si l'on conçoit un fil de longueur constante [fig. 21) fixé par chacune de ses extrémités à deux points correspondants des courbes conjuguées o-,, o-j, et tendu par un style de manière à s'enrouler ou se dérouler sur ces deux courbes, le style se trouvant dans une position sur la directrice, il restera constamment sur cette directrice et la décrira dans son mouvement. Les arcs sont de même signe lorsque les fils s'enve-

l56 LIVRE II. — COURBES RAPPORTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.

loppeni à la fois; ils sont de signes contraires lorsqu'un til s'enveloppe et l'autre se développe.

Fig. 21.

Il faut remarquer que les courbes o-,, o-j sont réciproques l'une de l'autre, de sorte que, si le point lumineux parcourt la courbe 0-2 en projetant sa lumière tangentiellement à celle courbe, la caustique par réflexion sera o-,.

85. Des développantes des caustiques par réflexion, — Considérons [fig- 22) deux développantes o-, 2,, 0-2 2, des arcs

Fig. 22.

&), (T,, 0)2 0-2, lesquelles passent par deux points correspondants (7,, 0-2 de ces deux arcs; si l'on admet que l'une de ces