X -- / -7- cosede

rds . , r-j -j^smede.

n a donc les coordonnées x', f en fonction de la variable e, et en éliminant e entre ces deux dernières équations, on obtient l'équation de la courbe dans le système cartésien. Rayon de courbure. — Dans le cas où la courbe o-, se réduit à un point, on a Jl, nul, et, par suite, on obtient la relation

, ,, ^, ^ cos«, 1^' .

Si ce point se transporte à l'infini, la formule sin«, r I

"aT ~ îï "" F.

devient

Conséquemment, si on élimine D, entre cette équation et l'équation (4), on obtient la nouvelle relation

(5) __.::= COS./. -^sm^,.

l6o LIVRE II. — COURBES RAPPORTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.

Or on a K =z ^Na; l'équaiion précédente deviendra donc (5') 4«^j~3Rcosfl, — R'sinfl, ;

de là on lire le théorème suivant :

Théorème. — Au point A [fig. 24 ) pris sur la courbe réfléchissante, et dans la direction du rayon de courbure, prenez

une longueur AB égale à trois fois ce rayon; au point B menez une perpendiculaire BC égale au rayon de courbure de la développée ; sur la sixième de AB comme diamètre, décrivez un cercle, et sur Cl} comme diamètre, décrivez un autre cercle. Cela posé, si du point A l'on mène AE sous l'inclinaison «, avec la tangente AT, AE est le rayon tangentiel de la caustique, et EF est égal à quatre fois le rayon de courbure de cette caustique.

Équation naturelle de la caustique. — Soit (f{e)=r.l{ l'équation élémentaire de la courbe réfléchissante rapportée à un axe 0^ parallèle à la droite lumineuse, on a les relations