CHAPITRE I. — DES COURBES COINJUGUÉES, ETC. l6ï
angulaires
On aura donc aussi la relation
qui est l'équation naturelle de la caustique.
Si la droite lumineuse et l'axe Ox de la courbe font entre eux l'angle [3, on a la relation
^^^^Wff<
obtient l'équation suivante :
qui, dans le cas actuel, est l'équation naturelle de la caustique. Relations entre les rayons de courbure des différentes caustiques. — Soit AG' perpendiculaire à la droite lumineuse formant l'angle (3 avec AG perpendiculaire à l'axe Ox. Si l'on appelle <^^ la valeur de ^2 correspondant à l'angle j3, et qu'on remarque que l'on a la relation
ai — e — &,
la formule (5') donne l'équation
4,ia3=r:3Rsin(eH- (3)-R'cos(e4- (3).
On déduit les équations suivantes :
4^0 - 3 R sin e — R' cos e, 4 Ar. ~^ 3 R cos e H- R' sin e ;
l62 LIVRE II. — COURBES RAPPORTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.
conséquemmeni on obtient
^^=:=^»locosj3 -i- cîR;, sin(3, .'1, — .''lo sin(3 + c^^. cos6,
desquelles on déduit
Ces relations, d'une interprétation facile, et plusieurs autres, se déduisent aussi directement du théorème précédent.
87. applications. — i° La courbe réfléchissante est un cercle -^ ^^ 6. On trouve l'équation suivante :
La caustique est donc une épicycloïde décrite par un point de la circonférence d'un cercle de rayon y, qui roule sur un
cercle dont le rayon est -? et concentrique au cercle donné.
2.° La courbe réfléchissante est une cycloïde. Il y a deux cas à considérer : le cas où la droite lumineuse est parallèle à la base de la cycloïde et celui où la droite lumineuse a une position quelconque.
Premier cas. — L'équation de la cycloïde est (n° 9Â),
ds
—- =11: im cos^, de
m étant le diamètre du cercle générateur; on aura donc, réductions faites,
or on a la relation angulaire
ie—-.£i :
