N^=^RD;^^^^'"^1F

^2 sera donc connue en fonction de e ; or s^ — 2 e --- — /; X est connu en fonction de e, par suite .R2 est connu en fonction de £2; on a donc l'équation élémentaire de la caustique.

Si la courbe réfléchissante est un cercle, il faut poser R' nul; par suite, l'équation (6) devient

ç, tK^ ^ 6cos«,

Développante de la caustique. — Portons- nous au cas général et cherchons les propriétés de la caustique par rapport à un point lumineux fixe A {fig. 26). Soient Fj et ^j le

170 LIVRE II. — COLllBKS UAl'POKTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.

rayon de courbure cl l'arc de la développante de la caustique, on a les équations

' n i\ Rsinfl,

d'où l'on tire la relation

Rsin«,

laquelle donne le rayon de courbure O'r, de la développante 0' 22.

Relations entre les angles e et a^. — Rapportons la courbe réfléchissante Os au point A comme pôle et à la ligne A^' comme axe polaire, et soit r, = F(0) l'équation polaire de celte courbe, B étant l'angle que le rayon vecteur r, fait avec l'axe kx' ; on a les relations angulaires

(8) 6? -7- «, -I- 0 : TT, cose - -- COS(rt, -t- 0);

si on développe le cosinus et que l'on ait égard aux expressions suivantes

di\ . ï\dQ

COSrt, = -7-5 Sin«, rr- --^— ,

as as

on obtient l'équation suivante :

/ X .dn..nde

(9) coser^— cos0^ -hsinS— ^

qui donne e en fonction de B, et par conséquent en fonction de «,.

Équation élémentaire de la développante. — Soit E^ l'angle que la tangente à celte courbe fait avec l'axe 0^; on a les relations

(10) «,-|-«2— TT, €•—£: — «,, E-i:=^ - -h £■.]

de là. résulte que l'équation (7') fait connaître 1^ en fonction