CHAPITRE I. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC

Rayon de courbure. — L'équation ( 5) du n° 83 donne, quand on a égard aux relations (i) et (2), la formule suivante :

(5) /-^ -^\ 1^ = ^ sine / I ^ I \ ^ Vsin«2 sin«,/ N^ sinaj sin«, \N, D,/

de laquelle on déduit l'équation

(5') c^î sina, — c^, sin«2 4- (-^ — 2N,

— 2rN, sine.

qui donne une construction géométrique facile du rayon de courbure.

Rectification. — On a la relation

ddi = dr^ -r- cos a^ds.

Si l'on remplace «j par sa valeur tirée de l'équation (i), qu'on développe et qu'on remplace sina,, cos«, par leurs valeurs en fonction des éléments de la courbe o-,, on aura la formule

d(72 -— dri --Z cosc{d(7i -— drx) — sincr, </£,;

or, dans la question présente, r, est connu en fonction de £,; soit r, :=: 9(£,) cctte fonction, on aura l'intégrale

sinc*/9(ci )û?£i = (o-, — r, ) cosc — (0-2 — ^2

laquelle fait connaître l'arc 0-2 au moyen d'une quadrature. Quadrature. — On a la relation

dUi :=:= - r'aSi =: - r: -r— , — «£. 2 ^ 2 ' sm^a,

Si l'on remplace «2 par sa valeur tirée de l'équation (1), qu'on développe et qu'on substitue dans les résultats les valeurs de sin«,, cosa,, on aura la relation

1 dui -- - — '- cos^c

r,)de,

de,

coscsinc

— - — i ~~ sin' c.

Or, si l'on remarque que la sous-normale Sn de la courbe o-,

a pour expression -* -^— ', et qu on porte sur la tangente a

cette courbe, à partir du point de contact, deux longueurs, l'une égale à la sous-normale, et l'autre à une moyenne proportionnelle entre cette sous-normale et le rayon tangentiel r,, en appelant v, w les aires balayées par ces deux longueurs dans le mouvement de la tangente d'une position à une autre, l'équation précédente donnera par son intégration la relation suivante :

(6') «2 =- w, cos'^c* -h V s'inic -h tvsin^c.

Discussion des formules. Applications. — Examinons en particulier le cas où la courbe c, est un point. La formule (5') devient

(5'') ^.sinrt, . : [^^ - aN.jsinc;

la formule (4') donne

(4") 0-2 — r2 -f- r, cosc - — sine / 9(£,) f/e, ;

et la formule (6)

(6") u> = Ui cos^c r; sinccosc 4- cvsin^c*;

w est ici l'aire engendrée par les déplacements successifs de la sous-normale à la courbe o-,.

Équation de la courbe Ca en coordonnées polaires. — Dans la même hypothèse, on peut facilement exprimer l'équation de la courbe en coordonnées polaires.

Soit El {Jig. 28) l'angle du rayon r, avec une droite fixe, et Q l'angle de o-iM avec le même axe, o-, M étant le rayon vecteur p de la courbe o-j. Il s'agit de calculer p et 0 en fonction d'une seule variable ; on a, puisque le quadrilatère ANMa, est inscriptible,

fl, (7. MA, a-2 ■-= M, 0-, A.