CHAPITRE II. — DES ROULETTES

l'aire élémentaire balayée par 0,M est - r] sin^rt,f/e,; celle balayée par la tangente est - r; cos^aide^, leur somme donne

- r^'de^. Si l'on appelle U et V, les deux premières aires, on

aura l'équation

conséquemment l'équation ( 2) deviendra

Si la courbe C, est fermée et que le point A ait fait une révolution complète sur cette courbe, la somme des deux premiers termes du second membre de l'équation précédente représente l'aire U de la podaire ; on a donc pour une courbe fermée ce théorème, qui est dû à Steiner :

Si la courbe C, est fermée, Faire de la roulette décrite par un point Oi du plan de cette courbe roulant sur une tangente est le double de l'aire de la podaire de la courbe Ci par rapport au point 0,.

On déduit de l'équation (3) le théorème suivant :

Si l'on prend sur les tangentes à un arc de développée d'un arc de la courbe (], des longueurs égales à r,, l'aire balayée par r, est la somme des deux aires balayées : la première par les perpendiculaires abaissées du point 0, sur les différentes tangentes de l'arc de C,, et la seconde pour les lo?igueurs des tangentes à cet arc terminées aux pieds de ces perpendiculaires.

Rectification de la roulette. — L'arc élémentaire de la roulette a pour expression r^der, or l'arc élémentaire de la

podaire a pour expression — -. -, puisque le quadrilatère

ÏMM'O' est inscriptible; or 0,M = r, sin« : il résulte que les arcs élémentaires des deux courbes sont égaux. On déduit de là le théorème suivant, qui est dû à Steiner

Si l'on fait rouler un arc de courbe Ci sur la tangente en l'une de ses extrémités, l'arc de roulette engendrée par un

Fiff. /jo.

point 0, est égal à l'arc de podaire obtenu en abaissant du point 0, des perpendiculaires sur les tangentes de cet arc.

Coordonnées rectangles. — Soient a, (3 les coordonnées du point 0, par rapport à deux axes rectangulaires dont l'axe des X coïncide avec la droite. On a

dr, as.

dsi

pourvu que l'arc 5, soit compté à partir du point qui, pendant le roulement, coïncidait avec l'origine des axes rectangulaires.

Ce sont les équations de la roulette.

applications, — La courbe roulante C, est donnée par l'équation (n°75)

(i) r==/'oCOS '"/n0;

on déduit de cette équation les coordonnées rectangles du point de la courbe

dx=:

dy =