CHAPITRE II. — DES ROULETTES
Le lieu des projections T des pieds des ordonnées du cercle a sur les tangentes correspondant à ces ordonnées a pour équation
or l'aire V complète de cette courbe, qui est quarrable, est 3 7r«^; l'aire U, engendrée par la portion de tangente, est
donc -^7:0} .
Le lieu des projections de points T sur les ordonnées correspondantes est
et l'aire W comprise entre cette courbe et le cercle est encore
quarrable et égale à ^tt^^; on a donc o
ce qui est la vérification du théorème.
Nous avons jugé convenable de vérifier ce théorème auquel nous sommes arrivé, parce que nous n'avons trouvé nulle part son énoncé.
109. Problème VIIL — Une courbe Ci roule [Jî^.Z^)sur une droite et entraîne le plan qui la contient; roulette engendrée par un point Oi de son plan.
Tangente et point de courbure. — Il suffit, dans les formules du n*» 101, de poser R égal à l'infini. La tangente de la roulette se construit comme au numéro désigné; le rayon de courbure s'obtient plus simplement. En effet, la formule relative aux rayons de courbure devient
, sin« = — • r n J Ri
224 LIVRE n. — COURBES RAPPORTÉES À DES SYSTÈMES, ETC.
De là on déduit le théorème suivant :
Prenez le point D sy^métrique du centre de courbure de C, par rapport à la tangente en A ; projetez le double de cette
Fie. 39.
cc^
cK
^ /lA
yk' M
distance AD sur la direction de /*, V.extrémité B sera le centre de courbure de la roulette.
Quadrature de la roulette, — Soient AO, y A' 0', deux positions du rayon r, infiniment voisines. Le quadrilatère infinitésimal AÂ'0',0, se compose de l'aire AA'O,, qui a pour expression
-r]dQy, et de l'aire 0,A'0', qui a pour expression -r]deiy puisque la figure a tourné autour de l'axe de rotation d'un angle égal à l'angle de contingence de la courbe C; l'expression de la différentielle du de l'aire de la roulette est donc
du=-(r'de 2 ^ '
r]de,);
or, si l'on réduit les rayons de courbure de la courbe C, à partir du centre de courbure, dans le rapport K de R, à r,, en appelant V l'aire balayée par le rayon vecteur r, et W celle balayée par KR,, l'équation précédente donnera par intégration
(2') MirrV + W.
Considérons la podairede la courbe C, par rapport au point 0,,
