CHAPITRE III. — DES COURBES PRODUITES, ETC

par suite, on obtient l'équation

,|^(i + ljcos«-(l + ^)cos«,]l \ =1 --{--]{ jcosasina

— \ ) ( Icosa, sin«,

-^ sin^a- -f + ^ sin^

Si l'on a égard aux équations (3) et qu'on introduise les auxiliaires /, /, par les conditions

II' - = -+-, r=-f-

r p l n pi li

celle équation devient

/cosa cosaA i 2 . 2

2 — rr: H — - cosa siua r cosa, sma,

— -H-^ sin»a-h — p4-^ sin^a,

On peut transformer cette équation.

Soit MA ijig. 43) la tangente commune aux courbes C et Ci, et MB la normale. Si l'on détermine sur la tangente les points TD el p qui ont pour projection p et t- sur Mp, et sur la normale les points tt et X qui aient pour projections les points v et /, el qu'on opère de même par rapport aux points p., ^ty /, situés sur le rayon Mp,, on obtient l'équation

\Mp Mpjn

Si' 0'

Mt:. M/?,

2 sin^i

qui dépend des rayons de courbure des courbes données ei de leurs développées.

On transforme de la même manière l'équalion (8').

Il se présente ici une vérification facile des équations (8')

Fig. 43.

et (9' ). En effet, on passe de la première à la seconde en changeant p, p„ <R, c^,, a, a,, en r, r,, Q, Q,, a, a„ et réciproquement, et enfin P en R. En opérant ainsi, on tombe sur une équation qui ne diffère pas de l'équalion (9'), pourvu que l'on ait égard aux relations (i).

Il y aurait aussi une autre manière d'opérer, consistant à faire usage de l'une des équations (2) pour calculer l'un des rayons de courbure P ou R lorsque l'autre est connu. Et il est facile de voir, par ces deux équations, que la proportion harmonique donne alors la construction du rayon de courbure inconnu au moyen du rayon de courbure déjà trouvé.

116. Des mouvements inverses, — Définition. — Si deux courbes C, C, situées dans deux plans P' et P, se meuvent successivement de telle sorte que, dans le premier cas, la première entraînant son plan roule sur la courbe C, supposée fixe, et que, dans le second cas, la courbe C entraînant son plan se meuve sur la courbe C supposée fixe, les deux mouvements successifs des plans P' et P seront appelés mouvements inverses l'un de l'autre.