CHAPITRE 111. — *ES COURBES PRODUITES, ETC

Si l'on remarque que, dans le problème actuel, le mouvement est inverse du mouvement déterminé par les conditions du problème précédent, on obtient les propositions suivantes :

1° Le lieu des positions des centres instantanés de rotation est, sur le plan fixe, la normale AY à la droite AX au point A et, sur le plan mobile, la développée de la courbe.

2° Le mouvement du plan mobile est produit par le roulement de la développée C, de la courbe sur la droite AY normale au point A à la droite AX.

3° Toute courbe parallèle à la courbe v restera constamment tangente à une droite A, X' parallèle à la droite AX en un point A,, intersection de la normale au point A avec la droite A.X'.

4° Tout point du plan mobile engendrera une roulette obtenue par le roulement de la courbe C, sur une droite fixe AY. (Ce problème a été résolu au n° 109.)

5° Toute droite située dans le plan mobile enveloppera la courbe qui a été étudiée au n° 108.

6*^ Deux points du plan mobile situés sur la courbe v ou sur une de ses courbes parallèles engendreront des roulettes qui auront un point commun situé sur la droite AY.

7^* Deux points M, M 'quelconques du plan mobile engendreront des roulettes qui couperont la droite fixe AY en deux points A, A' tels que leur distance sera celle des courbes parallèles à la courbe v qui passent par les deux points M, M\

8° Si deux droites L, L, sont toutes deux tangentes à. la courbe v ou à une €ke ses parallèles, les enveloppes de ces deux droites seront tangentes à la droite AX au point A ou à la droite A, X' au point A,.

9° Si les deux droites sont quelconques, les enveloppes couperont AY en deux points A, A„ où leurs tangentes seront perpendiculaires à AY.

lo» Le mouvement peut être produit par une courbe v et une de ses parallèles qui restent constamment tangentes à deux droites parallèles AX, A,X'.

119. Problëme VII. — Un angle constant {Jîg. 46) entraînant son plan parallèlement à un plan fixe se meut de telle

202 LIVUt II. — COURBES RAPFOllTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.

sorte que les deux côtés de cet angle passent par deux points

Fig. /,G.

Jixes 0, 0' situés dans le plan Jixe. Mouvement du plan mobile.

1° Le sommet M de l'angle conslanl OMO' décrit un cercle OMO'w circonscrit à l'angle et passant par 0 et 0'.

2^ Le lieu des centres instantanés sur le plan fixe est le même cercle OMO'o.

3° Le lieu des centres instantanés dans le plan mobile est le cercle dont le rayon est Mco, dont le centre est situé en M, sommet du triangle OMO'.

4" Le mouvement du plan mobile peut être produit par le roulement du second cercle sur le premier, ce second cercle étant tracé dans le plan mobile dans une de ses positions et entraînant son plan parallèlement au plan fixe.

5" Toute droite MO'' passant par le sommet M de l'angle et située dans le plan mobile enveloppe un point fixe 0" du plan fixe; ce point appartient à la circonférence du cercle OMO'w.

6° Tout point A du plan mobile différent de M décrit le limaçon de Pascal; pour le voir, il suffit de joindre ce point A avec le point M : la ligne AM passera par le point fixe 0"; donc, etc.

7»* Tout point situé à une distance de M constante décrira un limaçon de Pascal, constant de forme mais non de position, pourvu que le point se trouve toujours du même côté par rapport à la tangente au cercle l au point M du plan mobile.

8" Toute droite L qui ne passe pas par le sommet M cnve-