CHAPITRE III. — DES COURBES PRODUITES, ETC. ^5ç

située sur une courbe donnée BB' et elle passe par un point fixe 0; cette droite entraîne avec elle un plan qui lui est inva-

Fig. 48.

riablement lié et parallèlement au plan de la courbe BB', lieu des centres instantanés Mi de rotation de ce plan mobile.

Équation du lieu. — Soit r=:f{9) l'équation polaire de la courbe BB' par rapport au point 0 comme pôle et à une droite fixe, a l'angle du rayon vecteur avec la tangente au point M, £ l'angle de cette tangente avec l'axe fixe. Si l'on représente par les mêmes lettres affectées de l'indice i les quantités analogues dans la courbe cherchée rapportée au même pôle et au même axe, et que par les points 0 et'M on élève des normales, l'une à la droite OM et l'autre à la courbe BB', leur point d'intersection M, sera un point du lieu. Soient OM, le rayon vecteur représenté par r,, 0, l'angle qu'il fait avec 0^; le triangle OMM, donne les relations

r . rde

- =tangrt---^, /'i dr

donc les équations du lieu cherché seront

Tangente. — Soient R et N, R,, N, les rayons de courbure

26o LIVRE II. — COURBES RAPPORTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.

et la normale de la courbe BB' et du lieu; s, 5, les arcs correspondants de ces courbes, on a

^^^ ds-R N'

or, d'après ce qui précède, on a les relations

^r dr dO'

rd9 dr

'dQ

La différentiation de la première par rapport à s donne, en ayant égard à la seconde, l'expression suivante

da sin^acos^z, .

=rr (COl<^ — C0l<7,);

as ■ r ^

en égalant les deux valeurs de -t-î on obtient l'équation

(3) (cot«, — cota) — —

^ ' sinacos«

qui, écrite sous la forme suivante :

Rsin« tanga, = - ^^^,

R cosa H

cosa

donne une construction géométrique facile de la tangente. Rayon de courbure. — Écrivons la relation

^^^ ds, "K, N.

et différentions l'équation (3). Si l'on remarque que les équations (2) et (4) peuvent s'écrire sous la forme

dcoia I /i i\ c? cot«, cosa

__ I /i i\ d cota, cosa [ I i^

"^îïï^\N~RJ' ~~^r~"~sïn^\N. K,