CHAPITRE III. — DES COURBES PRODUITES, ETC
"celte différenlialion conduit à l'équation suivante :
cosa (2 2\
sin'« R \cos*a s\n^a
NR'
cosrtsin^i R^
laquelle fait connaître le rayon de courbure Ri du lieu des positions successives du centre instantané de rotation dans le plan fixe.
123. Problème XI. — Les mêmes choses étant données que dans le problème précédent, trouver le lieu des centres instantanés dans le plan mobile [fig. 4^)*
Équation du lieu. — Elle s'obtient en prenant pour pôle le point M et pour axe polaire la droite MO, situées l'une et l'autre dans le plan mobile; nous représentons le rayon vecteur MM, par p et l'angle polaire OMMi par 4^ ; le triangle OMM, donne les deux relations
p2 f.7 j ^2^ lang^J;
d'après cela, les équations du lieu dans le plan mobile sont
fm
p^=/P)P+/'[(0)P, tang^=ji;|g^
Tangente. — Considérons le lieu, c'est-à-dire la courbe roulante M|V dans une de ses positions; on a, après avoir posé
«,—«=:«, ^z= «, la tangente au point M, du lieu en
menant une ligne Mi^ formant un angle a avec le rayon vecteur MM,; or les angles a et a, sont connus : l'un est un des éléments de la question et l'autre a été déterminé dans le problème précédent.
Lorsque la courbe M,v roule entraînant son plan, le point 0 est tel, que, si dans le plan mobile on mène M,0 formant l'angle a avec M, M, M, 0 passera par un point fixe, le point M décrira la courbe BB'; le point 0 dans le point fixe, pendant le
roulemeni de la courbe MiV sur la courbe M, /ut., est tel, que de ce point on verra la distance du point M au point M, sous un angle droit. Donc, si dans le plan mobile on décrivait une circonférence sur MMi comme diamètre, dans ses différentes positions, ce cercle passerait par le point 0.
Rayon de courbure, — Soit ^ ce rayon, on a, d'après le n'^ 101,
et, comme R, est connu, le théorème II du n« 102 donne la construction géométrique de <R, dont on aurait l'expression analytique en substituant dans l'équation précédente la valeur
de — tirée de l'équation (5) du numéro précédent.
124. Problème XII. — Les mêmes choses étant données que dans le problème X {Jig. 48); courbe engendrée par un point du plan mobile, courbe enveloppe d'une droite située dans le plan mobile.
1° Soient x' , y^' les coordonnées du point N situé dans le plan mobile, par rapport à deux axes rectangulaires menés par le point M, l'un suivant OM et l'autre normalement à OM; soient X et Y les coordonnées du même point par rapport aux axes rectangulaires Ox et Oj menés par le point 0, on a
I X = (r-h ^') COS0 — j'sin 0, 1 Yr:r(r-.-^')sinô +7'cos0;
les seconds membres sont des fonctions de 0 : ce sont donc les équations du lieu décrit par le point N dans le plan fixe.
2° Supposons que la droite MC passe par le point M et forme l'angle i avec MO. Si du point Mi on abaisse une perpendiculaire sur MC, le pied G de cette perpendiculaire sera un point du lieu. Soient OC = p, et l'angle CO:r = ^j^î, le triangle OCM donne les deux équations
pi r p sin(a — i)^
sin/ ~ sin(i -h 0 — 4^2} " sin(Ô — ^1) '
