CHAPITRE III. — DES COURBES PRODUITES, ETC

or la seconde donne une relation entre ^2 et 9, puisqu'elle devient, par le développement des lignes trigonométriques,

(3) - = — 7-7-z r^ "T- cosi — -7-sinz

' p sin{6 — ^2) \ ds ds

on a donc, par suite des équations (2), p, et 4^2 en fonction de Q, c'est-à-dire les équations de l'enveloppe.

Si la droite ne passe pas par le point M, elle enveloppera une courbe parallèle de la courbe enveloppe de la droite passant par le point M et parallèle à celle dont il s'agit; la question est donc ramenée à la précédente.

125. Problème XIII. — Les mêmes choses étant données que dans le problème X, moins la courbe directrice BB', le rapport des normales r, et p qui déterminent le centre instantané de rotation est constant et égal à sin ^}> ; mouvement du plan mobile.

1° Le triangle OMM, restant rectangle et semblable au triangle correspondant à une position déterminée de la figure, on voit que l'on a l'équation différentielle de la courbe directrice

dr ,

(1) ^=tang-J; = m.

L'équation de la courbe en termes finis sera donc, k étant la constante d'intégration,

(2) r = ke'"K

2° Le lieu des centres instantanés dans le plan fixe est aussi une spirale logarithmique dont l'équation est

(3) r, = kme^^' ~'K

3° Le lieu des centres instantanés dans le plan mobile est une droite qui passe par le point M et forme avec OM un angle constant ^y

4*^ Le lieu des positions successives d'un point situé dans

le plan mobile est une courbe dont les équations sont

X z=r(/re-« + ^') COS0 — j' sin0, Y --{ke'"^-\- a:')s\nô -i-j'cosô,

qui représentent une espèce de conchoïde spirale, laquelle est la courbe parallèle de la spirale elle-même.

5° L'enveloppe d'une droite située dans le plan mobile passant par le point M est une spirale logarithmique. En effet le triangle OCM reste toujours semblable à lui-même; donc OC est proportionnel à r. L'équation de celte courbe sera, / et C étant des constantes (n° 124),

(5) p. i=.Ce'"(^-?).

Si la droite ne passe pas par le point M, son enveloppe sera la parallèle de la spirale logarithmique dont les équations seront de même forme que les équations (4).

On arrive ainsi à ce théorème :

Si une droite roule sans glissement sur une spirale, tout point ou toute droite situés dans le plan de cette droite engendre ou enveloppe une spirale logarithmique ou une parallèle de la spirale.

ô'* Le lieu des traces qu'un point situé dans le plan fixe détermine sur le plan mobile a pour équations

^' = X cos 0 -4- Y sin 0 — ke"'\ j'rrzYcosô — XsinÔ.

7° L'enveloppe des positions qu'une droite OC, située dans le plan fixe détermine successivement sur le plan mobile, lorsque celte droite passe par le point 0, s'obtient facilement. Soient v et 4^, les coordonnées polaires d'un point de l'enveloppe par rapport au point M et à Taxe MO, et 1 l'angle que la droite OC, fait avec l'axe 0^, on trouve

(7) tr:=rsin(l + (5), I -i- 0 4- (J;, = -^