DES COURBES RÉSULTANT, ETC

3oi

cos(3, cos(3\ I /N, cosa, N cosa\ R, Vsin[3i ~ sin(3/ K\o)X,^ sin«, DX^sina) 2 sin(«— (3) 2 sin(^, — (3,) JL sin«sin(3 3IL, sincf, sin(3i

j^ /^ ^\ i fK ^

qui fait connaître le rayon de courbure R, de la courbe 5,.

144. Problèjie IV. — Les trois sommets d'un triangle A, R, C ijig. 5^) parcourent trois courbes 5, 5,, ^2, tandis que les côtés

Fig. 59.

opposés enveloppent trois courbes a-, Ci, o-j, relations entre les tangentes et les rayons de courbure.

Conditions du problème. — Soient A 0-2, Ao-j; Ro-jjRo'; Co-,C(7,, représentés par t>2, t>i; i^['\ t'^^^; ^^^\ ^[^K Soient «2, a,; a^^\ a('^ ^(2), a\2) les angles que ces rayons tangentiels font avec les tangentes aux sommets. Soient R, R,, R2 les rayons de courbure des courbes s, 5,, 52; Si, <R,, Si^ ceux des courbes o-, o-,, o-^. Soient s, £,, £2; e, e,, e. les angles que les tangentes aux courbes <T, <7,, ^2; *, 5i, A'î font avec un axe fixe; si l'on rapporte s

aux courbes o-, et 0-2, on aura la série d'équations

V2 Je, =

- fifisina,,

- t.2) ^=^ ds cosaj;

X, dz, --

: ds sina,,

-Vi) - -: dscosûCx;

Êî -

ri «ï -i- e,

I sin «2 </a,

I sina, r/a,

R ~ V, ds

On obtiendra deux autres séries d'équations semblables : la première pour la courbe 5,, que nous appellerons série (S,); la seconde pour la courbe ^2, que nous appellerons série (S2); on les déduira de la série (S) par la permutation rotatoire des indices, soit supérieurs, soit inférieurs.

Relations entre les tangentes. — Si l'on multiplie entre elles les trois premières équations de la première ligne des séries (S), (S,), (Sa) et les trois premières équations de la deuxième ligne des mêmes séries, et qu'on divise la première des équations résultantes par la seconde, on obtient la relation suivante :

V2x.('^v\') sinajSinaC^ sina^,'-^

^ ' tit^'^v^^^ ~ sinai sina^^sina^*^

Cette relation peut s'écrire sous une autre forme; car si l'on introduit les six normales relatives aux six rayons tangentiels données chacune par une relation dont la suivante est le type

(2) V2--N2sina2,

l'équation (T) deviendra