CHAPITRE IV. — DES COURBES RÉSULTANT, ETC

Conditions du problème. — Soient ds^y dei, — l'arc, l'angle

de contingence et la courbure de la courbe lieu des points I,; (3, (3i les angles que les normales font avec la tangente à la courbe 5, ; si l'on rapporte les développées o-', œ\ des courbes (7, (Tt à la courbe 5,, et qu'on représente par v, vi les rayons tangentiels, on a la double série d'équations suivantes :

X, de' ^ dsi sin (3, J( o-' — k. ) ^:^ ds^ cos[3 ; V, de\ ---: dsi sin (3, , d{a\— Vi)— dsiCOS^r,

i sin(3 ^ R,~~ir dJ,'

j sin(3r d^ Ri • V, dsi

Point de la courbe, — Le triangle ABI, dont les côtés sont t -f- ^, t, -f- <^, et le sommet I„ est déterminé, puisque l'on connaît la base AB et les angles adjacents à cette base; on a donc

. . 0 — 0, ^ t, ^ Si __ -(^i -r- Sii

sin(p, — j3)~ cosa, " cosa

Tangente,— Si l'on appelle X, DLi les normales à la courbe 5, par rapport aux courbes o-', o-'i, on a les relations

ï. rz::: 5^sin(3, ï., == 3^, sin (3,,

et conséquemmenl on déduit des équations (i) la relation

^^^ de\-~^'

or les angles de, Je, sont égaux, chacun à chacun, aux angles de'f de\ ; on en déduit la relation suivante, que l'on peut écrire sous une double forme,

/ , . ^ N, t. sin a r sin [3

^^ ^~N' ^ sina, ~~ n sinp;*

Cette équation fait connaître le. rapport des sinus des angles

3oO LIVRE II. — COURBES RAPPORTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.

(3 et (3,, et par conséquent la direction de la tangente à la courbe o-,.

Rayon de courbure. — Si l'on différentie l'équation (4) par rapport à 5,, on a

dm.y d3f(. fl?N, (/N

or on a les relations

^^ ds^" Jï.'~ ^,'

conséquemment on obtient les équations

3iXsdSi V \DZ>

= - -- — 2 cos

^ R. sin(3/

G?X, I /,a' ^ V, cos 6,

—- — - — - — i — 2 COSÔ, + ^ r-^

ÔK^), dsi V, \^Ti, ^ R, sinp,

On trouve de la même manière

JN I /^ 2C0S« N cos«

^ dsi 3fL \ r sina Rsin«

û^N, I /.?R, 2C0S«, N, cos«,\

N,flf5, ^i \ r, sin«, Rsin«, /'

or, si l'on a égard à ces valeurs, l'équation (5) deviendra

o)i;, /cos(3, cos[3\ N, /cos«, cosa\ R, \sin(3, sinp/ R \sin«, sin«/

N, sin(« — (3) sin(«. — (3, )

N sinasin(3 sin«, sinp,

que nous pouvons écrire sous la forme suivante, qui est tout