CHAPITRE IV. — DES COURBES RÉSULTlNT, ETC. 3o

SOUS la forme simple

(V) VV^')yW~i,

Relation entre les rayons de courbure, — Il existe entre les rayons de courbure des six courbes une relation remarquable que nous allons calculer.

Écrivons les trois équations

(Il V zz:z — î v' V rzn « V^^^ — — '

on 'Obtient, par la comparaison des premières équations de chaque ligne dans les séries (S), (S,), (S^), les relations suivantes :

cela posé, si Ton différentie Téquation (v), on aura la relation

(v' —y- ds + ds, -f- -,TT-T- ds2 — G,

vds v^^^dss v^^^dSi

que l'on peut écrire sous la forme suivante, le signe 1 s'étendant à tous les indices.

or, si l'on remarque que, par suite de la diiférenliation de deux des équations (2) et en ayant égard aux équations des séries (S), (S,)-, (Sa), on a les relations suivantes :

/ ûfNa dv^ doct I /<^2 ^- \

et deux couples d'équations semblables, le premier relatif à la courbe 5, et le second à la courbe ^2, l'équation [y") prendra

3o4 LIVRE II. — COURBES RAPPORTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.

une nouvelle forme. En effet, si l'on pose, pour abréger,

^' ] ^ ^s\n[a,-oc['^ N,N('-^ sin[aC^>- a^.^^l

\ sinccï sina^^'^ NiRj sina,'^ sina(^^ '

et qu'on représente par S, S, ce qui devient le second membre lorsque l'on fait subir aux indices deux permutations circulaires successives, on obtient l'équation