CHAPITRE IV. — CES COURBES RÉSULTANT, ETC. 3x

148. Problème VI. — Étant données les mêmes conditions que dans le problème V, les courbes [s) sont des droites {fig.^c,) B. C„ Bt A„ Al B et deux des courbes enveloppes (a) sont connues; déterminer la troisième,

Soienl (t., o-^ les deux courbes connues, données par leurs équations naturelles; si nous conservons les mêmes notations que dans le n° lU et qu'on introduise la condition que les

courbures ^-, ^. ^ sont nulles, les équations (S) du n« M K Ui 1x2

deviendront , ^ ..de. ..^£. , „ d[.o^ singO)] r/[.(-) sino^]^ ^,^,^^ g.;

^ ■ tC) ^£ 40 de. j d[^^l[s}na!f] ^ ^(Msina.) ^ ^^^,, ao == C, ;

J.=^)^£, t.(^)t/£ , dj-csmcc.) J[J;^sinay^]^ a(^)-a('î=A„

auxquelles il faut joindre la relation

'^^ sina. sma^'^ sina\'^ sina, sina^^ sina(^)

et les équations naturelles des deux courbes o-., g-^, qui sont

Si l'on porte ces valeurs de da,, da. dans les équations (i) et (3) qui contiennent ces éléments, et que l'on ait égard aux troisièmes équations des trois séries (S;) du n« 144, on obtiendra Jf\ V, en fonction de e, et v^, 4'^ en fonction de e.. Si l'on se porte au triangle ABC, les trois côtés de ce triangle sont

d'après ce que nous venons de dire, le premier est une fonction de e. et le dernier une fonction de £,, que nous représentons par/, ( eO, /.(£.) ; o^ si l'on considère le triangle A. B. C.

3l4 LIVRE II. — COURBES RAPPORTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.

dont les trois côtés sont connus et représentés par «, 6, c, en remarquant que chacun de ces côtés, par exemple le coté Bi C, est la somme de deux segments B, A et AC,, on obtiendra les trois équations suivantes :

sin(£, ~e,) sin(e,— e,)

sinB, -^ ^ sinC, -^ ^

Si l'on élimine ï.(') — ï.(2) entre ces deux dernières équations, on trouve la relation

( =1'-- SinB, J'i^')\^^n{e-e,).

La première des équations (6) et cette dernière font connaître £2, £i en fonction de s-, par conséquent les premières des équations (2) et (3) donnent JO et v^*^ en fonction de celte dernière variable; on a donc les rayons tangentiels de la courbe inconnue a-.

Si dans l'équation de la série (i) qui contient da- on a égard aux valeurs de J'^ et de v^-^^ de £2, £i en fonction de £ que nous venons de trouver, on obtiendra da en fonction de cette dernière variable; on aura donc l'équation naturelle du lieu cherché.

11 est bon de remarquer que le calcul de vC^ etv(-) peut se faire aussi de la manière suivante : l'équation (4) donne le rapport

de -T^ en fonction de £, et par conséquent en fonction de s;

soit donc ce rapport

vC) "~d^,(£)'

comme, par suite des deux dernières des équations (6), on a