I. — Principes

152. Des courbes 5,, 52,..., Sn situées sur un même plan sont dites conjuguées suivant leurs rayons vecteurs lorsqu'une ligne droite variable autour d'un point 0 fixe détermine sur chacune de ces courbes des rayons vecteurs comptés à partir de ce point, lesquels satisfont à une relation constante enlre ces rayons. Les points A,, A2, ..., A„ déterminés par cette droite sur ces différentes courbes sont dits points conjugués.

Problème I. — Connaissant la loi d'après laquelle n courbes sont conjuguées suivant leurs rayons vecteurs, trouver la loi d'après laquelle les tangentes à ces courbes aux extrémités de ces rayons sont conjuguées entre elles.

Formules générales. — Soient les n courbes planes correspondantes rapportées à une origine 0 comme pôle et au même axe polaire Oxy et la loi suivant laquelle les rayons vecteurs r,, rj,. . ., r„ sont liés entre eux exprimée par l'équation

F étant une fonction quelconque et a une constante.

En conservant les notations employées dans le cours de cet Ouvrage et les lettres dénuées d'accent se rapportant à une courbe quelconque, on aura les relations

cosa =

dr ^ds'

r d(ù dr sina— -7— î cota——!-; ds rd(jd^

ds-

Kde, dbi^de — da.

Loi des tangentes, — Si entre la seconde des équations (2' et les équations (3) on élimine de et dsy on aura la relation

^^' \Rsina /

et, en ayant égard à la troisième des équations (2),

, / I sina\ dr

R r j cosa

or, si l'on dilïérentie l'équation (r) et qu'on élimine les c^rau moyen des n équations contenues dans le type représenté par la dernière des équations (2), on aura la relation

d¥ r -,— cota ~ 0, dr

le signe 2 s'élendant à une série de termes que l'on obtient en affectant successivement les lettres r et a de tous les indices, depuis I jusqu'à n.

Si l'on représente par A le point où le rayon vecteur r coupe la courbe Sy par N le pied de la normale, l'équation précédente peut s'écrire sous la forme

(n') N ON X -1- cosa - o.

L'équation (n) fait connaître la loi d'après laquelle sont conjuguées les normales aux n courbes, dételle sorte que, si toutes ces normales moins une sont connues, on connaît la dernière.

L'équation (n') donne la loi géométrique d'après laquelle on construit par la Géométrie une normale quand on connaît toutes les autres. Cette loi se traduit par le théorème suivant :

Théorème. — Si n courbes sont conjuguées suivant leurs rayons vecteurs par la loi F = «, et que dans la direction des rayons vecteurs on construise, à partir du pôle 0 et pour chaque courbe, des longueurs proportionnelles à la dérivée de F par rapport au rayon correspondant, la somme algébrique