CHAPITRE V. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC

des triangles rectangles construits sur ces longueurs et les sous-normales correspondantes est toujours nulle.

153. Problème II. — Les mêmes choses étant données que dans le problème précédent y trouver la loi d'après laquelle sont conjugués les rayons de courbure des n courbes.

Prenons la différentielle de l'équalion ( /i) et éliminons les dr au moyen des équations renfermées dans le type fourni par la troisième des équations (2), et les da au moyen de celles fournies par le type ( 4)» on aura l'équation

,d^ dF

,^, Y '^^ ^''' V . . d ( d¥\ X^'^'dn W y ,> ■ - — y 0 COlay cota/ -y- ( n -j- ) -h > -r-^— ^ ^ ^Rsm^a, Zj drj \ dn ) Zjsm^a.

dans laquelle les indices i et j prennent toutes les valeurs, depuis I jusqu'à n.

Si F est une fonction telle que sa dérivée par rapport à l'une quelconque des variables r soit fonction de cette variable seule, les indices i et j sont les mêmes, et, par conséquent, on peut les supprimer; l'équation (R) peut donc s'écrire sous^l'une des formes suivantes :

(^^ lw^n^a=l'''^^d-rV'Tr)-^l'^Tr^

,dF

(R^O \Lj!L=\^±.l(r^^]-\r^(r^].

^ ^ ZlHsin^a Zjs\n'adr\ dr) Zj dr\ dr J

Si par le pied N de la normale on élève une perpendiculaire jusqu'à la rencontre en n du rayon vecteur, on aura

<«■' ià^.-io'j,('"Vi^'

L'une des formules précédentes fait connaître la loi d'après laquelle les rayons de courbure des n courbes sont conjugués.