CHAPITRE V. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC

et AV, nous aurons la relation

ce qui démontre que, si l'on projette toutes les longueurs telles que AX sur ON, la somme des segments positifs sera égale à la somme des segments négatifs.

Cela donne la construction du rayon de courbure d'une courbe lorsque l'on connaît les tangentes et les rayons de courbure des autres courbes.

Si toutes les courbes moins la n'^""" sont des droites, on aura

R„ sin^a« ~~ 2u sm^a.

161. Problème III. — Quelle doit être la forme de la fonction 9 de l'équation [R] du n"" 155, dans laquelle F est homogène^ pour que les rayons de courbure soient conjugués entre eux d'après la loi

R sin^a

= ma.

L'équation [R] du n« 155 montre qu'on satisfait à cette relation si chacune des fonctions 9 satisfait à l'équation de la forme

de là on déduit, /r et / étant des constantes, les équations

donc il ne faut conserver que le premier terme, parce que la fonction 9 doit être homogène.

Problème IV. — Quelle doit être la forme de la fonction 9, monôme du degré m, pour que les rayons de courbure soient conjugués entre eux d'après la loi

Y r'cj^'{r) ^Y ' ^ r ' 'r '^1

Z^Rsin'a Zj siri^a dr^'^ "^ \' >\^

OU bien d'après la loi

Sc(r^

sin-'a

dans laquelle les coefficients C sont constants.

1° Remarquons que l'équalion [R'] du n° 155 peut s'écrire, en observant que a=z2(^{r), sous la forme suivante :

il faudra donc que chacune des fonctions '^ satisfasse à l'équation donnée par le type

Cette équation différentielle est du second ordre; on l'intégrera si l'on pose (i^[r):=r'^y n étant une arbitraire qu'il faut déterminer, de manière que l'équation précédente soit satisfaite; la condition à laquelle on arrive est

n(n -f- i)^=^ m, d'où l'on tire

I ± i/i -f- im n = ;

l'intégrale générale sera donc, A et B étant les constantes arbitraires introduites par l'intégration,

cD(r)=r- Ar ' ^^ + Br =* =* ,

ou bien, en posant \/i-h /i.m=: 2./i,

Ar*-^Br-*

9(r)::rz

Suivant que l'on donne à m les valeurs suivantes, on trouve les formes correspondantes de la fonction cp{ r) :

Si m =^ o,

f{r)rrr.A -^- 5 ;

si m = 2,

si m 12,

<p(r)-~:Ar-'-t- -;

si m " 24,

<f{r)r^Ar'^y^;

si m : ^0,

<?('•) -Ar'^^^;

si m =^60,

9('-)-Ar'-;?;

mais il ne faudra conserver que l'un des deux termes, parce que la fonction 9 doit être monôme.

2" Supposons toujours que F ne soit pas homogène, mais la somme de fonctions monômes cp, et soit F=2<p(r); l'équalion (R) peut s'écrire sous les formes suivantes :

ou bien

> r-'¥if)l .7-^-; coi^a-r- log[r^9(r)] — -{ — o;

or, si l'on pose nul le facteur de cot^a, on a l'équation

II vient par rintégration, C, C, étant des constantes arbitraires,

r'^'[r)-=:C, cpfr)--C, - ^,

et, conséquemment, l'équation des rayons de courbure devient

§ II. — Applications.

Transformations simples.

162. Transformation des figures par rayons vecteurs réciproques. — Définition. — Si deux points M, M' sont tels que le rectangle de leurs dislances à un pôle fixe 0 soit égal à un

carré donné OA , de telle sorte que

OMxOM'r:=^ÔÂ',

ces deux points sont transformés l'un de l'autre par rayons vecteurs réciproques. Cette relation est un cas particulier de celle qui a été donnée au n*' 160, puisqu'il suffit de passer des nombresauxlogarithmes. Lorsque le poiniMdécritunefigureC, le point IVr décrit une figure C qui est la transformée de C.

Construction du point transformé d'un point donné M. — Menez la polaire du point M par rapport au cercle de rayon OA, elle coupera le rayon vecteur OM en un point M' qui sera le transformé de M.

Formules de transformation. — Soient x^y\ z, x', y' y z les coordonnées des points M et M', r et r' les rayons vecteurs de ces points, on a

r'=z--, X' rr. - X, r = -2 r> 2' r:r: s.

163. Principes de transformation. — i*' Deux courbes transformées l'une de l'autre font, avec le rayon vecteur en leurs points transformés, des angles supplémentaires, situés dans un même plan passant par l'origine et les deux tangentes en ces points.

En effet, dans le cas de deux courbes C et C, la formule {n) du n" 160 donne

cota -4- cota' ~: o;

donc les deux angles a et a' sont supplémentaires.

1° Les tangentes aux deux courbes en leurs points réciproques se rencontrent en un point qui appartient au plan normal au rayon vecteur au point qui divise en deux parties égales le segment terminé par les deux points réciproques. Les plans normaux à ces deux courbes se coupent sur le même plan.

3*^ Les plans tangents à deux surfaces réciproques en leurs points réciproques se coupent sur le plan normal au milieu du segment qui joint ces deux points. Les normales se coupent sur le même plan.

4° Si deux courbes d, C2 se coupent sous un angle, les transformées de ces courbes se couperont sous le même angle. En effet, les trièdres formés aux points d'intersection par les tangentes aux courbes et le rayon vecteur sont symétriques (1°).

5° Si deux surfaces S,, S2 se coupent sous un angle, les transformées de ces surfaces se couperont sous le même angle. En effet, en menant en deux points réciproques des intersections des éléments normaux à ces intersections situées dans les surfaces, etc., ces éléments seront réciproques deux à deux; donc deux éléments qui ont une extrémité commune formeront un angle égal à celui des deux autres éléments. Donc, etc.

6° Les lignes de courbure d'une surface ont pour transformées les lignes de courbure de la surface transformée (5°).

7° Si une courbe est plane, sa transformée n'esipas plane. Cela résulte de (2°').

8° La transformée d'une droite est un cercle situé dans le

plan du pôle el de la droite; ce cercle passe par ce pôle et est langent à la parallèle menée du pôle à la droite donnée.

En etfet, si Ton opère dans le plan du pôle et de la droite, on a par suite de la formule (R) du n*' 160, dans le cas de deux courbes situées dans ce plan, la formule

or, si l'une de ces courbes C est une droite, son rayon de courbure est infini, et, conséquemment,

Donc la courbe C rapportée au pôle 0 est telle que le rayon de courbure est moitié de la normale; elle est donc un cercle passant par le point 0. Donc le diamètre de ce cercle et la perpendiculaire à la droite sont réciproques.

9° La transformée d'un plan est une sphère passant par le pôle et tangente en ce point à un plan parallèle au plan donné : cela résulte de (8°). Lé diamètre et la perpendiculaire au plan sont réciproques.

10° La transformée d'un cercle situé dans un plan qui passe par le pôle est un cercle situé dans le même plan, ces deux cercles ayant pour tangentes communes deux droites issues du point 0.

En etïet la formule (R) du n" 160 peut s'écrire sous la forme

rr H- — = 2 sinrds; l\ K

or, si la première courbe est un cercle tel que la dislance de son centre à l'origine est A, le triangle OCM donne

A2~r2-t- R^— 2rRsinAv/i; éliminant le sinus entre ces deux équations, on obtient

. R A' . / A' R' ;t' rr'K ri' \ K./'