CHAPITRE V. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC. SSq

23°. Les tangentes To et ^, menées de l'origine et d'un point à une sphère, sont entre elles comme le rayon vecteur du réciproque de ce point est à la tangente menée de ce point réciproque à la sphère réciproque de la sphère donnée.

Ces deux principes permettent d'exprimer la propriété métrique d'un lieu réciproque d'un lieu jouissant d'une propriété métrique connue.

164. Transformation des surfaces du second degré homofocales. — Soient trois surfaces du second degré homofocales S, S', S''; les intersections des deux dernières avec la première déterminent sur celle-ci deux lignes de courbure, de sorte que, si l'on fait varier les axes de ces deux dernières, elles détermineront le réseau complet des lignes de courbure de la première surface. Or sur chacun des axes de celle-ci se trouvent deux sphères doublement tangentes à la surface en deux ombilics, symétriques par rapport à cet axe, et, d'après un théorème que nous avons fait connaître (Comptes rendus de V Académie des Sciences, t. XLVIII, p. 886; t. LII, p. i i5o), les surfaces du second degré de révolution inscrites ou circonscrites à la fois à deux sphères d'un même couple, déterminent sur la surface S le réseau complet des lignes de courbure.

Prenons maintenant la figure transformée; les trois surfaces 2, 2', 1'\ transformées de S, S', S'", sont du quatrième degré; elles se coupent orthogonalement, et deux d'entre elles déterminent sur la troisième deux lignes de courbure, l'une de la première série et l'autre de la seconde série.

Comme les deux sphères auront pour transformées des sphères et que la surface du second degré de révolution aura pour transformées une surface engendrée par le mouvement d'une sphère de rayon variable, la série des surfaces de cette famille déterminera sur celle des surfaces (1) que l'on considère le réseau complet des lignes de courbure de cette surface.

De plus, comme pour chaque ligne de courbure de la surface S la somme ou la différence des tangentes menées d'un de ses points aux deux sphères d'un couple est constante, sui-

34o LlVllE II. — COURBES RAPPORTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.

vant que celle ligne de courbure apparlient aux lignes de courbure de la première série ou de la seconde, pour chaque ligne de courbure de la surface 2, la somme ou la diiïerence des langenles menées d'un de ses points aux deux iransformées des sphères (n° 163) sera proportionnelle à la dislance de ce point à un point fixe, suivant que la ligne de courbure appartiendra à la première ou à la seconde série.

165. Transformation du cône du second degré, — Joignons le sommet s du cône au centre 0 de transformation par une droite et faisons passer par cette droite un plan, il coupera le cône suivant deux droites passant par 5; ces deux droites se transformeront en cercles passant par 0 et par le point s' réciproque de s, et comme cela a lieu dans toutes les positions du plan et que les deux droites rencontrent tous les cercles des deux sections antiparallèles, lesquels, dans la figure transformée, restent des cercles, il en résulte que la surface transformée du cône est engendrée par un cercle de rayon variable passant par deux points fixes et rencontrant un cercle de grandeur et de position donnée, etc.

Cela posé, si nous inscrivons un trièdre au cône ei qu'on représente par/?, /?,, p-t les distances d'un point du cône aux trois faces du trièdre, on a, a, a,, «2 étant des constantes, la relation

Donc, si nous considérons trois surfaces sphériques passant par 0 et s', et qu'on représente par /, ^,, /j les tangentes menées d'un point de la transformée du cône à ces trois sphères, et par B, B„ B? trois constantes, on aura, pour la surface transformée, la relation

1 1 rn: O.

t' t', tl

Si l'on mène un plan langent à ces trois sphères, en représentant par r, r, , r^ les dislances d'un point de la courbe d'intersection aux trois poinls de contact, on aura celle propriété : l'intersection de la surface par un plan est telle, qu'il