CHAPITRE V. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC. Z^l

existe dans ce plan trois pôles par rapport auxquels un point quelconque de la courbe jouit de la relation

JB Bi Bo

r' r] ri

Il est inutile de pousser plus loin les applications de ce genre de transformation, qui a été l'objet de nombreuses et intéressantes recherches.

Transformations doubles.

166. Transformation des figures par normales à la sphère réciproques. — Définition. — Soit une sphère dont le centre est en un point donné 0 et dont le rayon est d'une longueur donnée M; si d'un point a appartenant à une figure on abaisse une normale à la sphère, elle la rencontre en deux points diamétralement opposés a, «1 ; si l'on choisit sur cette normale un point A satisfaisant à la relation «a X Aa = M% le point A est dit le transformé du point a par normales à la sphère M, réciproques suivant le carré du rayon. Si l'on choisit sur la même normale un second point A,, satisfaisant à la relation

«a, X A, a, r= M , le point A, sera un second point transformé du point a. Ainsi, dans ce système, chaque point de la figure donnée a deux points correspondants dans la figure transformée; c'est pour cela que ce genre de transformation est appelé double. Ces deux points sont dits conjugués entre eux.

Construction des deux points transformés R, R, d'un point donné r. Si l'on décrit du centre 0 une sphère de rayon 2M> et que l'on appelle X, Xt ses intersections avec le rayon vecteur 0/', il est visible que l'on aura les deux relations qui rentrent dans le cas du n° 156,

ôx^ô7'^ôr' ox, ""07'^ôr;'

un rayon vecteur étant positif ou négatif, suivant qu'on le compte d'un côté ou de l'autre à partir du point 0. De là on déduit les propositions suivantes :

1° Tout point R transformé d'un point r est le conjugué harmonique de ce point par rapport au centre 0 et au pied de la normale X abaissée du point r sur une sphère de rayon 2 M.

2° Les deux points transformés R, Ri d'un point r, ou leurs symétriques par rapport au point 0, sont conjugués harmoniques entre eux par rapport au point 0 et au point où la normale, abaissée du point r, rencontre la sphère de rayon M.

On déduit de ce qui précède la délerminalion d'un point transformé R par une construction unique qui ne souffre aucune exception, quelle que soit la position de ce point.

On déduit également une discussion facile des positions des points R, R,, lorsque le point r prend toutes les positions possibles.

3*^ Tout point r situé sur la sphère de rayon 2 M est luimême l'un de ses transformés.

167. Formules de transformation. — Soient ^, j, ^, X, Y, Z les coordonnées des points r et R. Représentons par r, R, M les distances Or, OR, OM. Nous aurons

^R MX MY ^^Z

R — M R-M -" R-M R-]Vr

Mr M^ ^ Mr ^ M2

Principes de transformation. — i** Une surface du degré m a pour transformée une surface du degré im.

1° La transformée d'un plan est une surface du second ordre de révolution dont le fo^'er est en 0, et dont le plan directeur est le symétrique du plan donné par rapport au point 0. Le plan mené par le point 0, parallèlement au plan donné, partage la surface en deux régions, dont l'une contient les transformées de première espèce et l'autre les transformées de seconde espèce des points du plan.

Suivant que le plan est extérieur, tangent ou intérieur à la sphère de rayon M, la surface est un ellipsoïde, un paraboloïde, ou un hyperboloïde à deux nappes.