D'UNE COURBE QUELCONQUE RAPPORTÉE A DES COORDONNÉES CURVILIGNES

214. Longueur et direction de l'arc. — Soit une courbe s quelconque tracée sur un plan et rapportée à un système de coordonnées curvilignes; cette courbe, traversant le réseau des lignes coordonnées, sera appelée trajectoire. L'élément ds est le troisième côté d'un triangle dont les deux autres sont c?(7, dar, en appelant a, (3 les angles que cet élément forme avec d(Ty da^, on aura les équations

/ ds dd d(j\

1 sincp sinp sina

1 i/* cosa = t/o- + rfo-, coscp, </* cos(3 = c?o-, -i- û?<t cosç;

\ ds^ = dd"^ -t- dd] -V- iddddi cosQ,

lesquelles font connaître la direction de l'élément ds par rapport aux lignes coordonnées, ainsi que la grandeur de cet élément.

Rectification. — L'équation de la courbe est une relation entre les paramètres p et p,. Soit cette équation

la différentielle ds de l'arc de courbe ne sera donc fonction que d'une seule variable p; donc l'intégrale de cette différentielle entre les deux valeurs de p, p^'*'^, pt'^ donnera la longueur de l'arc s compris entre les deux courbes p^''\ pl^'^ de la série p. Qadrature. — L'aire du quadrilatère infinitésimal des lignes coordonnées a pour expression Jo-^/o-, sincp; si l'on intègre une première fois par rapport à p„ entre les valeurs de p,, p^°^

3g4 LIVRE m. — COURBES RAPPORTÉES k DES COORDONNÉES, ETC.

p, =:f{p) el le résultai entre deux valeurs de p, p^°\ p^^\ on aura l'aire du trapèze curviligne, limité par la courbe et les trois lignes pW, pt'J, p^^K

215. Angle de contingence de In courbe s. — Soient Q. cet angle de contingence et P le rayon de courbure correspondant; si aux trois sommets du triangle dont les côtés sont da, c?(7,, ds on mène (fig^ 78) des tangentes aux arcs, on forme un hexa-

Fig. 78.

gone dont la propriété, relative à la somme des six angles qui

sont a, TT — I, 71 — 9 — û?o 9, Il + û^o I H- 77» p H- d^y £2 -f- TT,

donnera l'une ou l'autre des relations

(3) 12 =: I - I. -h f/o 9 - ^(3 r=z I - I. -i- doL - J, 9,

dans laquelle il a fallu négliger les infiniment petits d'ordre supérieur au premier.

Cette équation, lorsqu'on utilisée la relation

peut s'écrire sous l'une où l'autre des deux formes suivantes :

(3') 12-I-f-I,-^/oa-i-f/.(3r=:io.

Cette formule fait connaître l'angle de contingence de la courbe s en fonction des angles de contingence des lignes coordonnées et des variations des angles que la courbe fait avec les deux lignes coordonnées.

Si l'on a égard aux formules (i) du Liv. III, Chap. II, on