CHAPITRE IV. — d'une COURBE QUELCONQUE, ETC

les deux formules suivantes, qui donnent les variations de 9 par rapport aux paramètres p, p, :

(R^ , /, G^ ^^p \hh;j __^p, UhJ ^^ V h^h; " ^ ~" ^ *

c?p dpt

Courbure de la trajectoire, — Elle résulte de la formule ( 7 ), laquelle donne

~~ dp\ K 1'^ dp\ K ;

220. Angle de deux courbes en leur point d'intersection, — Soient les équations de ces deux courbes, m et f étant des fonctions de p et pi,

(9) w=:const., (^ = const.

Soient ds et ^5 les éléments d'arc de ces deux courbes ; ddy d^i, è(T, è(7i les composantes obliques de ces deux éléments suivant les lignes coordonnées; a, oci les angles que ces éléments font avec Jo-, èo-. Soit 9, l'angle de ces deux courbes, on a

(10) cos9t =:: cos(a, — a), sin9i = sin(a, — a);

si l'on développe les seconds membres et qu'on ait égard aux formules (1) relatives à chacun des éléments ds, es, on trouve les deux équations

i dsèscos(^i=={d(TàŒ -h dŒiàdi)-'- cos(^{d(Tà(7i-h d<Ti§(j), \ dsds s\n(^i = sin(f{d(7§(7i — ddiàd);

or, si l'on appelle K, ce qui devient K, relativement à l'équation f = const., c' et v\ les dérivées de v par rapport à p et p,, on a aussi les relations

if ap __ ap,

4oO LIVRE III. — COURBES RAPPORTÉES A DES COORDONNÉES, ETC.

Les équations précédenles donnent

l KK,cos9. --:=H'w>', -f-HÎM't^' — G^(w'(/', -hM>'), j KK. sin9,::z^ — HH. sin9(M>'— m'/,),

dans lesquelles il n'entre que les paramètres différentiels du premier ordre des lignes coordonnées, et les dérivées partielles des équations des deux courbes dsy as.

221. Passage d'un système de coordonnées curvilignes à un autre système, — Soit un second système de lignes coordonnées donné par les deux équations

et provenant des variations des paramètres Uy v qui fixent dans ce nouveau système la position d'un point. On déduit des équations précédentes les valeurs de p et de pi en fonction des paramètres u et c Soient ces valeurs

les paramètres H, H,, G relatifs aux variables p et p, sont connus, et la question présente consiste à calculer les paramètres différentiels du premier ordre relatifs aux variables u, v, paramètres que nous^représenlons par g, S, Ç.

Or, si l'on conserve les notations précédentes, on a, par suite de la troisième des équations (i), les deux relations

"^ -^ du^^^' du^^^^ du du' "^» ^ dv- ^^' dv' ^^^ dv dv^ d'une autre part, la première des formules (ii') donne

^"'J '^"^ dudv^ "' du dv^^ [du dv + dv du}'