CHAPITRE IV. — d'une COURBE QUELCONQUE, ETC

que dans les deux cas les rayons soient portés dans la direction de ds, ddif dd à partir du point que l'on considère sur la trajectoire.

218. Expression de la courbure de la trajectoire ds en fonction des variations des arcs coordonnés. — Appliquons la formule (6) du n° 188 à l'arc ds coupé par l'arc dcr, il faudra considérer le déplacement par rapport à ds comme étant complet et correspondant à la variation d^ et le déplacement par rapport à dd comme partiel et correspondant à la variation r/o; on obtient ainsi

dsddsma. , j , , , .

zzz dods — d{d(7 cosa);

or, si l'on remarque que le triangle dont les côtés sont ds, da, d(7i donne la relation

ds == d(7 cosa -f- da-t cos(3,

que d=. do -\- di, le second membre se transforme par suite de ces relations; si de plus on élimine du premier membre ds au moyen des premières formules (i), on tombe sur l'équation aussi simple qu'expressive

= do ( ddi cos |3 ) — rt, ( ûfo- cos a ).

Maintenant, si nous représentons par dcù l'aire du quadrilatère curviligne dont les côtés sont c/o-, û?(t,, par dv et dvi les projections de ses deux côtés sur la diagonale ds, on obtient l'expression non moins simple

, ,, I do{d)j,) — d,{dv)

laquelle conduit à ce théorème, que nous avons fait le premier connaître :

Théorème. — La courbure d'une courbe est le quotient de la différence des variations des projections des arcs coordonnés élémentaires sur la direction de la courbe par l'aire du qua-

3g8 LIVRE III. — COURBES RAPPORTÉES À DES COORDONNÉES, ETC.

drilatère de ces arcs coordonnés^ ces variations étant prises par rapport aux paramètres correspondant à ces arcs,

219. Éléments d'une trajectoire en fonction des paramètres différentiels du premier ordre et des dérivées de l'équation de la courbe. — Soil réquation de la trajectoire mise sous la forme

M~ ij;(p, p.) — const.

Représentons par u', u\ les dérivées de u par rapport à p et pi, on aura Téquation

( 2 ) u' dp -f- u\ ûfp, = G.

Longueur de l'élément ds, — Si l'on pose, pour abréger,

K'z=R^u'^ -\-lilu''-— iG'u' u\,

la valeur de ds donnée par la dernière des formules (i) conduit, suivant qu'on en éliminera dp ou dp^ au moyen de l'équation (2'), aux deux valeurs suivantes :

ds dp dpt

Direction de l'élément ds, — Les autres formules (i) prennent la forme suivante :

. y/tPH; — G* ~H, sin{3 ~ Hsina'

H cosa Hi cos(3

ces formules donnent.les expressions des sinus et des cosinus des angles a, (3 que la trajectoire fait avec les lignes coordonnées.

Fariation de l'angle des lignes coordonnées. — On obtient, par la différentialion de l'équation

COSCp = yjJ-,