CHAPITRE V. — APPLICATIONS DES THÉORIES PRÉCÉDENTES

le momenl résultant des actions exercées sur A est

ds''

— [v;/(r,)sina-^i^/.(r)sln(3],

et comme ces deux moments doivent être égaux, on a

(I) [v^fir) -h n]f, (r)] sinp =:. [v;/(r,) -+- ^'/(rO] sina, -

qui est l'équation de la courbe relative à la direction de la tangente.

Si l'on remarque que Ton a les relations

Pi dpi . - rdp r r, la

sina==: -yi-, sinp =1=; -7-^^ - — ^- — = ^—, — ■ r

ds ^ ds ' sinp, smp sin(p + p,)

que, par la nature de l'attraction magnétique, v^ et vj sont égaux, et qu'il en est de même de n^ et de ni, l'équation (i) peut s'écrire successivement sous les formes suivantes :

(i) F(r)sin(3 = F(r,)sina;

sin pû?p ^ sin p,ûfp,

^ ' ^/ 2asinp \ ' ,/ 2«sinp,

\sin(p-{-p,)/ \sin(p + p,

Cette équation différentielle s'intègre dans le cas où les fonctions / et / sont égales entre elles et à une puissance m de la distance; on obtient alors l'équation

(i') r'" sin(3 — r^ sina,

il) -. — 1- — — ^--— - == o, #

^ ^ sm"'^'p sin'^'+'p,

dont l'intégrale sera

(3) r^£+r-^ = const.

Dans le cas de la nature, les attractions et les répulsions magnétiques s'exercent en raison inverse du carré de la dis-

4o4 LIVRE III. — COURBES RAPPORTÉES A LES COORDONNÉES, ETC.

lance; on trouve, en représentant une constante par C,

COSp -4- COSpi =: C.

223. Rayon de courbure des courbes magnétiques. — Puisque la recherche du rayon de courbure R ne dépend que des paramètres différentiels du système des coordonnées et des coefficients de l'équation différentielle de la courbe, si l'on applique à l'équation (2) les calculs indiqués au n° 218, on trouvera, après quelques réductions faciles, l'équation suivante :

I [F(r)cospH-F(r.)cosa]^ (4) I H-^rF'(r}-?-^nsin2(3

rF'(r)-?|^n sin2ar:.o.

Dans le cas de la nature, F(r), F(r,) deviennent \^ —/•> l'équa-

tion précédente deviendra donc

/cos(3 , cosa\ I 3 /sin2j3 sinaaX \ r^ "^ rï y K "~ 2 \~^ ' ^/''

or, si l'on remarque que dans ce cas l'équation (i). devient

sin(3 sina

on obtient l'expression suivante du rayon de courbure :

^. sincp 1 __>:,( co^?> cosa\

sinasiiip R " ' \ /■ /•, / '

qui est d'une interprétation et d'une construction faciles. L'équation (4) peut aussi s'écrire sous la forme suivante

sin9 I cos|3 cosa i F'(r) sin2(3 -f F'(r,) sin2a sinasin(3R r r, 2 sinaF(r) -f- sin[3F(/', )