CHAPITRE V. — APPLICATIONS DES THÉORIES PRÉCÉDENTES. /^O'J
cercles, on oblienl l'équation
rr, = consl.,
qui représente l'ellipse de Cassini.
3° Si les forces sont en raison inverse des carrés des tangentes et que les deux cercles soient égaux, on obtient l'équation
= const.
4'' Si elles sont en raison inverse des cubes des tangentes, on obtient, suivant que les deux cercles sont égaux ou inégaux, les deux équations
ml
=-- const., (-j (^-^j = const.
227. De quelques propriétés coniques. — Comme application du système de coordonnées rectilignes et circulaires considéré dans le n"207, si l'on suppose que le point fixe F, passe à Tinfini, le système se composera d'une série de cercles concentriques ayant leur centre en F et d'une série de parallèles; l'équation
dans laquelle m est une constante, r et/? sont la distance du point au centre Fi et la distance à une droite fixe XX,, et u une constante pouvant prendre toutes les valeurs possibles, représente une série de coniques doublement tangentes au cercle de rayon m et ayant la droite XX, pour corde des contacts. Les formules relatives à la tangente à la série de coniques conduiront à cette proposition, savoir: que si l'on considère un point A dans le plan de ces courbes et qu'on prenne les polaires de ce point par rapport aux différentes coniques et au cercle, elles auront toutes un point de concours sur la corde des contacts. Ce théorème donne le moyen de construire la tangente d'une de ces coniques en un point donné. Nous laissons au lecteur le soin d'effectuer ces calculs.
4o8 LIVRE III. — COURBES RAPPORTÉES A DES COORDONNÉES, ETC.
228. Problème. — Soient (p) et (pi) les deux séries de lignes coordonnées. Trouver l'angle des deux courbes
w = p -f- p, = consl., (^ =^ p — p, =-- consl.
Dans le cas actuel, on a
m' = I , u\=2l', c' nrl , f ', r= — I .
Donc, si l'on se porte au n^ 220, on trouvera
K^ =: H^ -I- h; — 2GS K; ^ H^ + h; + 2G^;
par suite, on aura, d'après les formules (ii) de ce numéro,
v^(H^ + h;)' — 4G* v/h*h-h;-2H^h; cos2(p
Sous cette forme on reconnaît que, si le système de coordonnées p et p, est tel que les carrés des deux paramètres différentiels du premier ordre soient égaux, l'angle 91 est droit et les deux courbes m et (^ se coupent orlhogonalement, et qu'il en sera de même du nouveau système des coordonnées (m), (c).
Ce cas remarquable se présente dans le système bicirculaire; de là résulte que les deux courbes
pH-p, rz= const., p — p, — const.,
qui représentent deux séries d'ellipses et d'hyperboles homofocales, se coupent orthogonalement.
On voit, de plus, que cette condition d'orthogonalité est nécessaire, car l'angle cpi ne peut être droit que tout autant que le numérateur du second membre de l'équation précédente est nul, ce qui entraîne la condition de l'égalité des carrés des deux paramètres H et H,.
Il est aussi aisé de voir que, si les deux paramètres, sans être égaux, sont dans le rapport constant m, les deux équations
p H- mp, ==: const., p — mp, ::= const.
se couperont orthogonalement, et que, si le rapport m est va-
