CHAPITRE V. — APPLICATIONS DES THÉORIES PRÉCÉDENTES

riable, les deux équations

dp -{- mdpi =3 0, dp — mdpi — o

jouiront de la même propriété. De là on tire cette proposition générale : Si dans un système quelconque de coordonnées (orthogonal ou non) les paramètres différentiels du premier ordre sont dans un rapport m, les deux séries de courbes données par l'équation

dp""— m^dp\^^o

se coupent orlhogonalement.

229. Des diverses formes de l'équation de la ligne droite, — Nous avons trouvé ( n° 218) l'expression suivante de la courbe :

daddi sino , , , , , , , ^ , ^ z= di{d(7 cosa) — do{d(7i cosp).

Si l'on suppose le système orthogonal et choisi de telle sorte que les paramètres H et H, soient égaux, on aura

, , H» ^H . du ^f . da da\

{ I ) -fr =^ cos ûc —j sm a -^ H sm a -, — h cos a -7- M

^ P dpx dp \ dpy dp I

multiplions membre à membre celte équation et la suivante :

dp __ dp,

cos a sma

on obtient l'équation

l -^ {s'inadp -r~ cosadp,)

=- cos^a -7— «p, — sm^a —7- dp h- 2W cos oc sm a da, dpi ^ dp ^

Si l'on suppose que H' soit la somme de deux fonctions ^, 4^,, chacune d'un des paramètres p et pi coordonnés de telle sorte

4 10 LIVRE m. — COURBES RAPPORTÉES A DES COORDONNÉES, ETC.

que H' = ^p -f- t]>i, on aura l'équalion

, , s\n xdp -f- cosadpi c^(^, cos'a — ^ sln^a)

telle est l'expression de la courbure dans le système de coordonnées que nous venons de définir.

Si ,1a trajectoire est une droite, la courbure ^ étant nulle, l'équation différentielle de cette droite sera

d{^i cos'oc — ^ sin^a) = o,

dont l'intégrale première sera

(3) (];, cos'a — ^ sin^a=: const.;

telle est la forme de l'équation de la droite dans le système de coordonnées orthogonales, et dans lequel les carrés des paramètres différentiels du premier ordre sont chacun la somme de deux fonctions de l'une des deux variables.

Le même théorème a lieu lorsque les carrés de H et de H, sont de la forme M^(^ + ^i), M]{^ -\- tj;,), M étant une fonction de p et Ml une fonction de p,.

En effet, posons

M dp =:. du, Ml dp^ = dui ;

on tire de ces deux équations p en fonction de ii, et pt en fonction de Mi; cônséquemment, si l'on appelle U et U, les résultats de la substitution de p et de p, dans ^ et ^i, on aura

da' = {[]-^ U,)du\ da] -^{\]-h \J,)du] ;

donc l'équation différentielle de la ligne droite dans le syslènle des coordonnées u, m, sera

U sin'a — U, cos'a =r const.,

et, en revenant aux variables p et p„ on aura encore

vj; sin'a — 4^, cos'a ==: const.