CHAPITRE V. — APPLICATIONS DES THÉORIES PRÉCÉDENTES

IB dont FF, est le grand axe sera un cercle dont l'équation sera, " par rapport aux foyers A et A,,

De même le lieu des sommets d'un angle constant 0, circonscrit à deux points fixes, est un double cercle dont l'équation est

T^H-t'^— 2TT'COSa=::::4p;.

Donc le lieu des sommets de l'angle constant Q, circonscrit à la conique dont la distance focale est 2po, sera une courbe dont l'équation sera, par rapport aux foyers A et A„

r'-f- r; — 2rr, cos0 = 4po ;

mais ici la courbe ne représente pas un double cercle, mais bien une courbe du quatrième degré, par suite de l'introduction de la demi-distance AA, dans l'équation cartésienne de la courbe.

3° Le lieu des points dont les distances à deux points fixes F et F, sont dans un rapport constant est un cercle; les bissectrices de l'angle intérieur et de l'angle extérieur des deux rayons vecteurs passent par deux points fixes.

Le lieu des points dont les distances aux deux foyers de la conique qui a FF, pour grand axe sont dans le même nombre constant est aussi un cercle; les bissectrices de l'angle intérieur et de l'angle extérieur des tangentes menées de chacun des points de ce cercle à la conique passent aussi par deux points fixes.

233. Des lignes dont chaque point jouit d'une propriété donnée par rapport aux courbures des lignes coordonnées.

Problème. — Trouver le lieu des points tels que chacun d'eux soit à une distance invariable de la droite qui joint les centres de courbure des deux coniques homofocales passant par ce point.

Soient R et R, le rayon de courbure des deux coniques; ces

4l6 LIVRE III. — COURBES RAPPORTÉES A DES COORDONNÉES, ETC.

deux rayons sont les deux côtés d'un triangle rectangle dont la hauteur / est liée avec ces deux côtés par la relation

r^ ~ F^ "^ Rî '

or, si l'on fait usage des formules (8^') du n° 190 et (4') du n° 209, elles donnent, dans le système de coordonnées elliptiques que nous avons défini n*' 209,

p \/p' — C ' p, sjc' - p\ ' on aura donc

I p' -i- PÎ - C"

telle est l'équation du lieu cherché.

Elle peut aussi se mettre sous une autre forme; en effet, dans le système bicirculaire, dont les rayons sont t et /,, elle devient

I V-\- t.\— ic'-

or, si l'on appelle v la dislance du point au centre des coniques homofocales, on a

ainsi, pour cette courbe, la distance d'un point quelconque au centre commun des coniques est proportionnelle au rectangle des rayons vecteurs.

Tangentes à la courbe. — On trouve facilement

cosx.ds costds cost^ds

la normale passe donc par le centre de gravité des extrémités des longueurs menées du point que l'on considère sur la courbe, inversement proportionnelle à ~ t, l, t, et dans la direction de ces rayons.