CHAPITRE V. — APPLICATIONS DES THÉORIES PRÉCÉDENTES. ^i

conique, elles formeront entre elles le même angle que les deux rayons t, x' .

2° Lorsque deux éléments du triangle formé par les deux rayons vecteurs et la distance focale de la première conique sont respectivement égaux à deux des éléments correspondants du triangle formé par les rabattements des distances d'un point aux deux foyers de la seconde sur les tangentes menées de ce point à cette conique et la ligne qui joint les extrémités de ces distances rabattues, les deux triangles seront égaux chacun à chacun, pourvu que parmi ces éléments il y ait un côté.

S*' Si deux courbes planes E, E' sont rapportées chacune à deux foyers dont les distances focales ne sont pas les mêmes, et qu' elles jouissent l'une et Vautre de la même propriété par rapport à leurs rayons vecteurs et aux mêmes paramètres «, a,, . . . , toute relation exprimant une propriété de la première courbe par rapport à ses rayons vecteurs, à l'angle de ses rayons et à la distance focale, exprimera la même propriété de la seconde courbe par rapport aux rayons vecteurs de cette courbe à V angle des deux tangentes menées de ce point à une conique ayant les mêmes foyers que cette seconde courbe, pourvu que cette seconde conique ait un grand axe égal à la distance focale de la première courbe.

4° Les mêmes choses étant données que dans le théorème 3°, si /( T, t' ; «, «I, . . . ) = o ^^ /*( r, Ti ; «, «I, . . . ) =^ o sont les équations des deux courbes E et E', il suffira qu'en deUx points correspondants une seule des coordonnées de l'une de ces courbes soit égale à la coordonnée correspondante de Vautre pour que les deux triangles, qui ont leurs sommets en ces points et qui sont formés le premier avec les deux rayons vecteurs z et z et le côté 2po, et le second avec V angle des tangentes à la conique 2po et les rayons vecteurs r, r,, soient égaux.

Remarque. — Ces divers théorèmes s'appliquent à un réseau quelconque de coordonnées elliptiques honiofocales, parce que la distance focale du réseau est indéterminée.

4l4 LIVRE m. — COURBES RAPPORTÉES A DES COORDONNÉES, ETC.

232. Applications. — Appliquons ces théorèmes à quelques exemples :

1° Soil la droite EM rapportée aux deux foyers F, F, et parallèle à la droite FF,; elle exprime que le triangle formé par les deux rayons vecteurs t et t' a une aire constante ia}. Si l'on

Fig. 80.

construit une conique ayant FF, pour grand axe et une distance focale AA, quelconque, la courbe E^ qui aura, par rapport à ses rayons vecteurs r et ri et au paramètre a la même équation que la première par rapport à t, t' et a, jouira de cette propriété que l'aire triangulaire des deux rayons r, r,, rabattus sur les tangentes menées d'un de ses points à la conique sera constante. On aura donc, pour l'équation de la seconde courbe,

L (>. r\Y^ '- pl (r' + r]) 4- [a' + pj) = o.

Si on la rapporte à deux axes rectangulaires menés du milieu de FF,, l'un suivant cette droite et l'autre normalement, on aura l'équation

qui représente une conique. Cette équation ne diffère de celle de la conique de la question qui a pour axe 2po et pour dislance focale ic que par le terme constant a*. Ces deux coniques sont donc semblables.

2" Le lieu des sommets d'un angle droit circonscrit aux deux points F et Fi est un cercle dont l'équation est

T'-+-Tî = 4p;;

le lieu des sommets d'un angle droit circonscrit à la conique