CHAPITRE I. — CONSTRUCTIONS PRÉLIMINAIRES

côtés opposés de ce quadrilatère. Or si l'on fait passer un plan suivant les deux arêtes S/', S/', ce plan coupera les faces opposées de l'angle solide suivant deux droites Sm', S^' qui seront les conjuguées harmoniques des deux droites S/', Si', puisque la longueur mn est divisée en deux parties par le point/. Donc les quatre points m', n',f'y V sont en proportion harmonique.

Si l'on considère le quadrilatère/', c'y i\ b' , les trois diagonales de ce quadrilatère complet sont i'f'y c'b', a! d' y et les points m! y n'yj' sont les trois points de concours de ces diagonales prises deux à deux. On a donc le théorème suivant :

Dans tout quadrilatère complet, chaque diagonale est coupée harmonique ment par les deux autres,

10. Construction linéaire d'un segment de la division harmonique, — Proposons-nous de construire linéairement un point b conjugué harmonique d'un point a donné par rapport à deux points c et d aussi donnés.

Prenez un point S quelconque, joignez ce point aux points c et d par des droites, menez du point a une transversale quelconqucy joignez ses points d'intersection avec Se etSd aux points d et c par des droites; le point d'intersection de ces deux droites et le point S déterminent une transversale qui coupe le segment cd au point b harmonique du point a.

Cette construction est la conséquence immédiate du théorème précédent.

11. Moyenne harmonique d'un nombre quelconque de segments, — Si l'on a m points a, 6, (?,</,... en ligne droite, et qu'on détermine un point p, de telle sorte que l'inverse de sa distance à une origine fixe o, située sur cette droite, soit la moyenne arithmétique des inverses des m points à cette origine fixe, le segment op est appelé moyenne harmonique des autres segments, chaque segment devant être pris avec son signe; et le point/? est dit centre des moyennes harmoniques. D'après cela, pour exprimer que le point p est le centre des moyennes harmoniques des m points a, 6, c, . . . par rapport

op oa ob oc

oL

au point o, on a l'équation

Pour construire ce centre des moyennes harmoniques, cherchez le conjugué harmonique du point o par rapport aux points a et b, prenez le milieu b' de la distance de ce point au point o, cherchez le conjugué harmonique du point o par rapport aux points b' et c, prenez le milieu c' de la distance de ce point au point o, répétez la même construction par rapport aux trois points o, c' et d, et ainsi de suite, en répétant chaque fois la même opération; vous arriverez finalement à un dernier point /', en prenant oV m fois dans le sens ol' ; vous obtiendrez le point p qui sera le centre des moyennes harmoniques cherché.

12. Moyenne harmonique d'un nombre quelconque de carrés de segments donnés, — D'après ce qui précède, si l'on a la relation

/ox m I I I I

op oa ob oc ol

op sera la moyenne harmonique des carrés des segments oa, ob, oc, . , ., ol. Il est évident que cette question se ramène à la précédente, car si l'on décrit un demi-cercle sur le plus grand des segments comme diamètre, que du point o on mène des cordes égales aux autres segments, et que l'on projette les extrémités de ces cordes sur le diamètre en des points p', a', b', c', . . . , on aura

op oa' oa oc ot'

la construction d'un des segments de cette relation au moyen des autres conduira donc à la construction d'un des carrés de la relation précédente au moyen des autres carrés.

Seconde solution de la question précédente. — Si l'on remarque que les côtés d'un triangle sont inversement proportionnels aux distances de ces côtés aux sommets opposés.