CHAPITRE I. — C0^STRLCT10^S PRÉLIMINAIRES. p

toute relation homogène entre les côtés existera entre les inverses des distances de ces côtés aux sommets opposés; d'après cela, un triangle ABC rectangle en A, et dont le pied de la perpendiculaire sur l'hypoténuse est a, donnera la relation

(9) r:zn=:=7 + — -•

Aa AB AC

Donc pour construire le carré de op, déterminé par la relation (8) du présent numéro, menez du point o deux longueurs rectangulaires égales à oa et oh; déterminez la distance b' du point o à la ligne qui joint les extrémités a et h, menez du point o perpendiculairement à ob' une longueur oc et répétez la construction précédente, et ainsi de suite, vous trouverez un point V tel que

^ ' op' ol"

La question est donc ramenée à construire un carré op qui

soit à un carré donné oV dans le rapport de m à l'unité»

Si la somme des inverses des carrés donnés était algébrique, on construirait deux longueurs o\ Ofx, telles que l'inverse du carré de la première fût égale à la somme des inverses des carrés affectés du signe + et que l'inverse du carré de la seconde fût égale à la somme des inverses des carrés affectés du signe —, la question serait ramenée à construire ol' tel que /' satisfasse à la relation

ol' ol O/JL

or, si du point o comme centre avec un rayon égal h ol, on décrit un cercle, qu'on mène une tangente à ce cercle et qu'ensuite on conduise du point o deux obliques sur cette tangente, l'une égale à o^ et l'autre perpendiculaire à cette dernière, la seconde oblique sera égale à ol', et la question sera encore ramenée à construire un carré qui soit à un carré donné dans le rapport de m à l'unité.

lO LIVRE I. — COURBES RAPPORTÉES A DIVERS SYSTÈMES, ETC.

Généralisation. — II est facile de voir que les conslruciions précédenles s'appliquent au cas où l'on aurait à déterminer un segment par la condition que l'inverse de ce segment fût égal à la somme des inverses de segments donnés, chacun de ces inverses étant multiplié par une constante, ou bien au cas où l'on aurait à déterminer un segment par la condition que l'inverse du carré de ce segment fût égal à la somme des inverses de carrés donnés, chacun de ces inverses étant multiplié par une constante, de telle sorte que l'on aurait, suivant ces deux cas, les équations

op Zaoa y jL^a

dans lesquelles le signe 2 s'étendrait à tous les segments et à toutes les valeurs des constantes telles que a.

13. Condition pour que trois points soient en ligne droite. — Si les trois points a, h, c [fig. 2) sont en ligne droite, on 2iac=2ab -\- bc; or si l'on appelle p la perpendiculaire abaissée du point S sur la ligne abcd et qu'on exprime chaque segment tel que ac en fonction du sinus de l'angle opposé des deux rayons menés du point S aux deux extrémités de ce segment et de la perpendiculaire p, on aura, en portant ces diverses valeurs dans l'égalité précédente, la relation

. sinAC sinAB sinBC

^'^^ ~Sb~~~~ST'^~S^'

Si l'on compte un angle à partir de la première ligne exprimée sous le signe sinus jusqu'à la seconde, l'équation précédente pourra s'écrire sous la forme

, ,, sinAB sinBC sinCA •

bc ba S6

Condition pour que quatre points rt, b, c, d soient en ligne droite. — On aura la condition

ad = ab -h bc -h cdj