CHAPITRE II. — DES COURBES RAPPORTÉES, ETC. l

desquelles on déduit, en a^'anl égard à l'équalion (3') et en sommant les deux équations,

(4') x„—û:o=\àek(^iek)cosek, 7« — jo= \ A^/!.(p(^A)sineA;

ces équations sont les équations des sommets du polygone, parce qu'elles déterminent les distances de ses sommets aux axes rectangulaires, au moyen de l'équation élémentaire du polygone.

Ainsi, par exemple, s'il s'agit d'un décagone régulier inscrit dans le cercle de rayon a et que l'on veuille avoir les projections sur les axes OX, OY du quatrième sommet A4 du polygone, on aura, d'après les formules (4'),

x^— x^-=- «Ae,[cose,-t- cos(e,H- Ae,) n- cos(e,H- 2Ae,)], J4— j,= rtAei[sine, -i- sin(e,-f- Ae, ) + sin(6', h- 2 A <?,)];

dans lesquelles Ae, est égale à 36 degrés. On peut écrire ces deux formules sous la forme suivante :

x^— ^,= «Af?,(i + cosAe,+ cos2Ae,)cose, — «Ae,(sin A^i -f- sin2 Aejsine,,

J4 — j, = «Ae,(i 4- cosAe, -t- cos2Aéf, )sine, + «A^, (sin Ae, -4- sin2Ae, )cosei.

17. Équations du polygone dans un système oblique à angles variables, — Parmi les différents systèmes de coordonnées rectilignes propres à déterminer le polygone, il en est un qui a l'avantage de faire connaître les sommets des polygones, les lignes sur lesquelles se trouvent les différents côtés et les positions des côtés sur ces lignes. C'est ce système que nous allons définir. Prolongeons le côté 4 jusqu'à la rencontre de la droite fixe OX en B„; appelons X„ la longueur 0B„ et r„, la distance A„B„ du point B„ au sommet A„; X„ et r„ seront des fonctions de en qui détermineront non-seulement A„, mais encore la ligne qui contient le côté /„. Ce sont les coordonnées que nous voulions définir.

l6 LIVRE I. — COURBES RAPPORTÉES A DIVERS SYSTÈMES, ETC.

Il est facile de trouver l'expression de ces coordonnées en fonction de l'angle e„; en effet, si l'on projette r„ tantôt sur l'axe des j, tantôt sur l'axe des a:, on a les deux équations

( 5 ) /« sin en = j„, ^n — X„ == r„ cos en ;

or, si l'on a égard à la deuxième des équations (4'), la première des équations (5) devient

(^' '■"= iîk ^"^ S^'* ''"^* '?^"*)] '

et si l'on élimine de la seconde r„ au moyen de l'équation que nous venons de trouver, et ;r„ au moyen de la première des équations (4'), on trouve, après avoir posé ^o^^'ocos^o et y^zzz To sin^o, l'équation suivante

(y) X„= -i^—\ roS\n{e,, — eo)-h\Aek(?[ek)sin{en— ek) •

Dans ces équations comme dans les précédentes, le signe 2 s'étend à toutes les valeurs de k depuis o jusqu'à n — i.

§ II. — Des COURBES planes.

18, Définitions. — Une courbe est un polygone dont les cô^'s sont infiniment petits.

Chaque côté peut être considéré comme un élément de l'arc de cette courbe; la droite qui contient cet élément s'appelle tangente à la courbe au point que l'on considère.

L'angle formé par les directions de deux éléments successifs s'appelle angle de contingence. C'est la déviation infiniment petite qu'éprouve la direction d'un élément pour coïncider avec la direction de l'élément suivant; cet angle peut être positif ou négatif, suivant qu'il faut le compter dans une direction ou dans la direction opposée.

Si, au lieu de considérer deux éléments consécutifs, on considère deux éléments quelconques de la courbe, il est visible que l'angle que forment entre elles les directions de ces deux