CHAPITRE II. — DES COURBES RAPPORTÉES, ETC. l

donné par la relation

(i) en— en-K = ^en-x\

or si dans cette équation on donne à n toutes les valeurs pos-

Fig. 5.

sibles, depuis i jusqu'à n, et qu'on ajoute les équations résultantes, on aura

n - i (l') e„ — é?oH- \ A^A,

la somme 2 s'étendanl à toul|^b|i^ va leurs de h, depuis o jusqu'à 71 — I. -lH^?^.

Représentons par Sn la somme des côtés du polygone, depuis /o jusqu'à 4-1, on aura la relation

( 2 ) /„, =r 5„ — Sa-, = A Sn-i ,

et en opérant comme nous venons de le faire, nous obtiendrons

n— i (2') Sn=So-h > Ai*,

le signe 2 s' étendant à toutes les valeurs de k, depuis o jusqu'à n — i.

Si le polygone est déterminé, la loi des variations des angles Ae„, est connue, ainsi que la loi des variations des côtés, et réciproquement si l'on connaît la loi de la variation des angles du polygone et celle de la variation de ses côtés, de telle sorte

l4 LIVRE I. — COURBES RAPPORTÉES A DIVERS SYSTÈMES, ETC.

que Ton ait

(3) ùien-^=^f{tn-^)^tn-.. A 5„, = ^ ( ;„, ) A /„. ;

tn étant une grandeur dont les variations font connaître les variations de e„ et de 5„, / et 4* des fonctions connues, le polygone sera déterminé.

Si l'on considère seulement les polygones pour lesquels la variation Ae„, est constante, le rapport de A5„, à Ae„, suffira pour faire connaître tous les éléments du polygone, et si l'on représente par 9(e„,) ce rapport, on aura

Les équations (3) dans le cas le plus général, et l'équation (3') dans le cas où les variations des angles e„ sont constantes, déterminent tous les éléments du polygone, côtés et angles; nous les appellerons les équations élémentaires du polygone. Supposons, par exemple, que Ae* soit constant et égal à

la m}^"" partie de 36o degrés, et que le rapport - — soit une

constante a, le polygone sera régulier et de m côtés. Si Ae*

, , , 36o - - àsh

restant toujours constant et égal a — ? le rapport de -r — est

égal à a sin — ) « étant une constante, le polygone aura tous

ses angles égaux et les côtés proportionnels aux cordes que l'on obtient en partageant une circonférence en m parties égales et en joignant l'un des points de division aux autres par des diagonales.

16. Équations du polygone dans le système de coordonnées rectilignes rectangulaires, — Soient j,„ x,, les distances du sommet A„ à un axe OX, mené dans le plan du polygone et à un axe OY perpendiculaire, mené dans le même plan. En projetant le côté A5„i sur ces axes et en appelant A^„,, Aj„, ses projections, on aura

(4) A^„,— A5„, cose„„ A7„,=: A5„, sine,,-,,