CHAPITRE II. — DES COURBES RAPPORTÉES, ETC. I

l'arc s et l'aire u étant comptés à partir de la valeur nulle de e; Ro étant le rayon de courbure correspondant à la valeur zéro de e.

20. Coordonnées rectangles d'une courbe donnée par son équation élémentaire. — 11 est aisé de voir que, dans le cas du polygone infinitésimal, les formules (4), (4') ^^ '^° 1^ deviennent r/n d.r dr

[4] lù = ""''' ■3^ = ""''

[4'] x — x.-z^ j (^(e)cosedey y — y,= j <^{e)s[nede. *■ o «- o

Ce sont les deux équations de la courbe en coordonnées rectangles. Si l'on élimine e entre ces deux équations, on aura une équation unique entre ces deux coordonnées. Applications. — i° Courbe dont l'équation élémentaire est

ds

-r--zay a étant une constante. Les équations [4^] donnent

^ — Xo=asinp, J — ju— a — — « cose;

si l'on élève au carré et qu'on ajoute, on obtient l'équation du cercle

i"" Courbe dont l'équation élémentaire est -r- ^^ ma% niela

étant constants. En intégrant, par parties, les deux équations [4'], on obtient

(x — .To) H- la{y—Xo) =z ma^sin e, j— /o — lci{-^ —^o) =-- ma" cos e.

Si l'on égale à zéro les deux premiers membres de ces deux équations, on obtient les équations de deux droites dans le système rectangulaire formant enlre elles un angle droit; or, si l'on appelle Y, X les perpendiculaires abaissées d'un point de la courbe sur ces deux droites, on aura

Y y I H- /a =z ma" sin e, ,\y i-\- la — m a" cos e ;

divisant l'un par l'autre on obtient

^r^rtange.

Si l'on élève les mêmes équations au carré, qu'on les ajoute et qu'on représente par j le facteur de X et de Y, on obtient

et par l'élimination de e l'on trouve

équation de la spirale logarithmique.

21. Système de coordonnées tangentielles. — Dans l'hypothèse du polygone infinitésimal (fig. 6), les coordonnées obli-

Fig. 6.

ques que nous avons considérées dans le n° 17 restent finies et deviennent ret X; le rayon mobile r est la tangente à la courbe, comptée à partir du point de contact jusqu'à sa rencontre en B avec l'axe fixe OX. Cet axe peut être supposé coïncider avec une tangente à la courbe en un point déterminé O, et la coordonnée X est la portion de cette tangente comptée à partir du point 0 jusqu'au point B; mais celte hypothèse n'est pas nécessaire. Ce système de coordonnées tangentielles à la courbe se prête avec facilité à l'étude de toute courbe