CHAPITRE II. — DES COURBES RAPPORTÉES, ETC

donnée par son équation élémentaire et devient, dans ce cas, d'une grande utilité.

Pour obtenir les valeurs de ces coordonnées en fonction de e, il faut supposer Ae infiniment petit dans les formules du n° 17 et alors on obtient les deux relations

(6') rsinemjo-i- / cp(e) sin^c?e,

l Xsine =:: r„sin(e — ^o) H- sinf? / (j^(e)cosede

[ — cose / Q[e)smede.

On obtient ces formules directement, car on a jrrrrsine, 1L^= X — y QoXe.

22. Équations différentielles dans le système tangentiel, — Soient r, r + dr deux rayons successifs, d\ la différence des X correspondantes ; ces trois lignes forment un triangle dont le périmètre projeté d'abord sur l'axe OX, et ensuite sur une direction perpendiculaire au rayon r, donne les deux équations

(12) d{s — r)=z dXcose, rde = dXsine,

desquelles on déduit l'équation suivante

fl^frsin^f)

sine

L'aire de ce triangle est la différentielle de l'aire balayée par le rayon mobile r. Si on la représente par du, l'on a

(i3) du =z~ r'^de,

Si l'on élimine rfX entre les deux équations (12), on trouvera la différentielle de l'équation (6'), et en ayant égard à la valeur de rfournie par cette équation, la seconde équation (12) coïncidera avec la différentielle de l'équation (7').

?.2 LIVRE I. — COURBES RArPORTÉES A DIVERS SVSlfcJiES, ETC.

Interprétation des formules. — Pour inlerpréler géomélri-

quemenlles équations (12), il faut remarquer que la dérivée -y-

exprime le quotient de la vitesse avec laquelle le point d'intersection B du rayon r avec l'axe fixe OX se déplace sur cet axe, par la vitesse angulaire du rayon mobile r autour de ce point. Ce rapport étant essentiellement linéaire, nous le représentons par D. La deuxième équation (12) montre que, si par le point B on élève une perpendiculaire à l'axe OX jusqu'à la rencontre du rayon de courbure de la courbe, cette perpendiculaire sera égale à D; elle exprimera le rapport des vitesses et la première des équations (12), qui devient

-r=B— Dcose, de

montre que celle perpendiculaire intercepte sur le rayon de

courbure un segment compté à partir du centre de courbure

égal à -1-? de sorte que cette dérivée représente la différence

entre le rayon de courbure et la projection de D sur le rayon de courbure.

Intégrales des équations différentielles de la courbe. — Les coordonnées tangenlielles se déduisent aussi de l'intégration des équations (12). La première de ces équations donne

(6'') rs\ne= 1 —-sine de,

et en portant la valeur de r dans la seconde, on obtient, après intégration,

"-/(sJ-JÈ""*)

et il est aisé de voir que ces valeurs coïncident avec celles qui sont fournies par les équations (6') et (7').

De la normale à la courbe. — Si par un point pris sur la courbe on élève une perpendiculaire sur la tangente en ce point, celte perpendiculaire est la normale à la courbe. La