CHAPITRE II. — DES COURBES RAPPORTÉES, ETC

Si l'on suppose m pair, on obtient

cos^ r fn — i , (m — 2)(m — 4)p

m — iL w — 3 (m — 3)(m — 5)

Dans le cas où m est impair, on a

cos^ f" m — 2, (m — 2j

Coordonnées rectangles, — Si l'on fait usage des formules [4'] et que l'on détermine les constantes par la condition que

pour e = -7 a:m= et rm= o, on obtient

h I Rosine

m— I sin'"-'e m — i *^

Coordonnées tangentielles.— Ces coordonnées sont données par les formules suivantes :

desquelles on déduit

m ' Sm—\ COI 6, r^ ■": •

m — I sm e

Normale. — Si l'on appelle Nm la normale terminée à l'axe des 7, on a

^m — Rm — f>

sin^ m — I (m — i)sine

Construction de la courbe. — D'après les formules précédentes, on voit que l'arc *« est une fonction linéaire des rayons de courbure menés en des points correspondants de la série des courbes d'ordre pair ou impair; or les coordonnées rec-

tangles de la courbe de rang m sont telles, que l'ordonnée est égale à l'arc du rang (m — i), et que l'abscisse est dans un rapport constant avec la projection du rayon de courbure sur l'axe des X ; par conséquent la construction de ces coordonnées ne dépend que de la construction du rayon de courbure. 11 en est de môme de la construction de toutes les lignes qui caractérisent la courbe. La construction du rayon de courbure est elle-même d'une grande facilité, puisqu'elle ne dépend que d'une série de perpendiculaires élevées successivement sur les deux côtés d'un angle égal à e, à partir du point distant du sommet d'une longueur b prise sur l'un des côtés; comme cela ressort de la définition élémentaire de la courbe.

Parmi les propriétés communes aux courbes de cette famille il faut distinguer celle relative à la normale N„.

Dans chaque courbe, le rayon de courbure est à la normale dans un rapport constant qui est toujours un nombre entier, et l'abscisse est toujours égale à la projection de la normale sur l'axe des x.