CHAPITRE II. — DES COURBES RAPPORTÉES, ETC. 3l
Soit m ce rapport, on aura
-y- cosesme r= mr;
de
ds or si l'on a égard à la valeur de -r- donnée par la troisième des
équations (12), on aura l'équation
de
dirsme) cos^^
rsine tange'
Soil m^ I, l'intégrale de l'équation précédente est rsine z= p lang"'e,
dans laquelle j9 est la constante d'intégration. On déduit sans difficulté les relations
sin'"-2^ „ P . .„ . ^ / ,tanî?e
R=imp —-5 X = — ^- — lang'«-'e, — = [m—\)—
^cos'"+'e m — I ° X 'sine
Coordonnées rectangulaires. ^ On les obtient en faisant usage des formules [4']
mp m -— I °
', j = p tan g- e, ^- = ( j^^-~-^ \ pr"-' .
Courbe polaire auxiliaire. ~ x"' = pf"'-^ parabole semblable à la précédente et semblablement placée.
Tangente. — Si l'on construit la parabole dont le paramètre
est ( j /?, et qu'on mène une tangente en un de ses
points jusqu'à la rencontre de l'axe de X, si d'une autre part on construit une parabole semblable et semblablement placée, ayant son sommet en X et un paramètre égal à /?, la deuxième rencontrera la première en son point de contact avec la tangente.
Rayon de courbure. — La normale à la seconde parabole, terminée à sa rencontre avec la perpendiculaire au rayon r au
point X, aura la même projection sur l'axe que le rayon de courbure de la première parabole.
Quadrature. — L'aire de la première parabole, balayée par le rayon mobile r du système tangenliel, est égale au secteur parabolique compris entre l'arc de la seconde parabole et le rayon vecteur r du système polaire.
Si l'on a m<<i, on obtient une série de courbes hyperboliques qui se discutent de la môme manière. •
28. Problème V. — Trouver la courbe telle, que si l'on projette son rayon de courbure sur une direction donnée, cette projection sur la direction du rayon de courbure, la projection obtenue sur la direction donnée et ainsi de suites m étant le nombre des projections successives, on obtient une longueur constante b.
Équation élémentaire, — Ce problème donne une famille de courbes que l'on obtient en donnant à m toutes les valeurs entières possibles. Nous représentons dans ces différentes courbes les variables analogues par les mêmes lettres affectées de l'indice égal à la valeur de m propre à ces courbes. Supposons de plus que, pour toutes ces courbes, ces variables correspondent simultanément aux mêmes valeurs de e, ce qui revient à dire que l'on y considère des points pour lesquels les tangentes sont parallèles entre elles, nous appelons ces points points correspondants. L'équation élémentaire de la courbe cherchée est
dsm b
de sin"'e
Rectification. — Si l'on intègre par parties l'équation précédente et que l'on place l'origine des arcs aux points pour lesquels e = -? l'on a
b cose m — 2
m — I sin"'~'« m — i
Cette équation peut aussi s'écrire «sous la forme suivante : I^m-icose m — -2
