CHAPITRE II. — DES COURBES RAPPORTÉES, ETC

30. Problème VI. — Trouver la courbe telle, que son rayon de courbure soit proportionnel au cube de la normale terminée à une droite fixe.

Prenons cette droite pour axe de X ; soit X la normale, S\. le rayon de courbure, m un nombre constant; on a, d'après l'énoncé du problème,

êl—m^\

Nous avons précédemment trouvé les deux relations

^ ^ dirsme)

<DT;,cz= — rtange, ^ = -A r-^:

° smede

en ayant égard à ces valeurs, la relation précédente devient sine de d{rsine)

cos^e r^sin^e

Cette équation, dont les deux membres sont des différentielles exactes, s'intègre directement, et l'on trouve, en représentant par / la constante introduite par l'intégration, l'équation suivante

r^s'm^e cos^e

Si l'on pose

cette équation devient

b'^cose rsine =r —

y/tt'sin^e H- b'^cos^e

portons cette valeur de r dans la deuxième équation (12) du n° 22 et intégrons l'équation résultante, nous trouvons

Xsine = v^^sin-e -f- 6^cos'<îî.

Le radical représente la perpendiculaire abaissée de l'origine sur la tangente. Soit D cette perpendiculaire; en portant les valeurs de r et de X dans les expressions du rayon de courbure <R et des coordonnées rectangles x et j, on trouve les relations

a?h'^ X «sine y 6cose ^^ r^

Il serait facile de déduire des formules que nous venons de trouver les propriétés de la tangente et du rayon de courbure de la ligne qui est une conique.

31. Propriétés du rayon de courbure. — Contentons-nous de signaler quelques propriétés du rayon de courbure; rapportons la courbe à ses coordonnées polaires p et 0, nous obtenons l'équation

I cos'0 sin^ô

or l'équation du rayon de courbure peut s'écrire sous la forme I cosV sin'e

{abSiy

il résulte de là que, si a' est le demi-diamètre parallèle à la tangente à la courbe au point où le rayon de courbure est Jl, on aura les deux relations

a'=:a^b''sC\ «'r=^^;

on déduit de là les deux propositions suivantes :

I" Le rayon de courbure en un point d'une conique est proportionnel nu cube du diamètre parallèle à la tangente en ce point.

2° La normale en un point est proportionnelle au demi-diamètre parallèle à la tangente en ce point.

Il résulte de là que tonte relation homogène entre divers demi-diamètres d'une conique existera aussi entre les racines