CHAPITRE III. — DEUXIÈME SYSTÈME DE COORDON>ÉES, ETC

ment sur la courbe -7- :r^ R, rapportée à un axe OX langent à celte courbe en son origine 0, D étant une foniion de a et

R une fonction de e. Si l'on admet qu'au commencement du mouvement les origines 0 et 0' coïncident ainsi que les axes OX et O'X', il est \isible que, ds et ds^ étant égaux, on a la relation

(lo:

Rr/é^ r=Dû?rt;

or, si par le point de contact des deux courbes on mène une parallèle à l'axe mobile O'X', en appelant e l'angle qu'elle fait avec Taxe fixe OX. on aura l'équation

le signe supérieur se rapportant au cas où les convexités des deux courbes ont le même sens, et le signe inférieur au cas où les convexités sont de sens contraires. On aura donc pour l'enveloppe de cette droite les équations (i).

Seconde question. — Une courbe roule sur une autre courbe, enveloppe d'une droite située dans le plan de la courbe roulante.

Si l'on considère les deux courbes comme deux polygones Infinitésimaux dont les côtés qui doivent se placer successivement en coïncidence soient égaux, on voit qu'entre les

coïncidences consécutives des deux côtés d'un angle du polygone mobile avec les deux côtés de l'angle correspondant du polygone fixe il y a rotation de la figure mobile autour du sommet commun des deux angles; on déduit de là les propositions suivantes :

1° Les différents points de la figure mobile décrivent autour du sommet commun de ces deux angles des arcs infiniment petits de cercles.

2° Toute droite située dans le plan mobile demeurant, pendant le mouvement infinitésimal, à la même distance du centre de rotation, reste tangente à un cercle dont le centre est le centre de rotation, et, par suite, cette droite touche son enveloppe en un point qui est le pied de la normale abaissée du centre de rotation sur la droite.

De là résulte que, si par le point 0' on mène O'M perpendiculaire à O'X' dans le plan de la figure mobile, l'enveloppe de cette perpendiculaire sera déterminée par les pieds des normales abaissées des différents points de contact des deux courbes sur la droite O'M; or ces normales coïncident visiblement avec les parallèles menées des mêmes poinis à l'axe O'V.

On conclut que l'enveloppe de la perpendiculaire à O'X', menée du point 0' dans le plan de la figure mobile, est la développante de l'enveloppe des parallèles à O'X' menées des différents points de contact de la courbe roulante avec la courbe fixe, puisque, dans toutes les positions, la tangente de la première enveloppe est perpendiculaire à la tangente correspondant à la seconde enveloppe. On déduit de là le théorème suivant :

Théorème. — Deux courbes sont telles que leurs équa-

cl s fis

lions naturelles sont -r-^ ==: D, -j- r=: R par rapport aux deux

droites O'X', OX, qui leur sont tangentes chacune à chacune ^ la première au point 0\ la seconde au point 0. On fait rouler sur la seconde courbe la première, de telle sorte quelle entraîne dans son mouvement une droite perpendiculaire à O'X', les points de contact 0 et 0' coïncidant à Vori^