RD

(12) rz=:^^— sma,

dans laquelle le second membre est exprimé en fonction de e, r est le rayon vecteur, s l'angle polaire compté à partir d'une parallèle à l'axe OX.

1° Soit ds' l'élément d'arc de cette courbe, «, l'angle de sa tangente avec son rayon vecteur ( £, l'angle qu'elle fait avec l'axe fixe), 3^, la normale, on a

dr {i3) dr^zds cosa^y rds^ ds' sinui, coi«, =^— y

dr Éliminant — ,- entre celle dernière équation et l'équation (4), rde

on trouve

Si sinia -h «i)

(i4) — = cot« 4- cot«, =

r sm«sin«, '

or (a 4- «i) est l'angle que la tangente à cette courbe polaire fait avec la tangente correspondant à la courbe directrice PQ,

et, d'une autre pari, 5L, est é^ale à -; — ; on a donc ^ ^ sin«,

(i4'} .usinai = DL, sin(«4-a,).

On conclut de cette équation le théorème suivant :

Théorème. — Si Von projette la normale à la courbe polaire et le rayon de courbure de la courbe mn sur la tangente correspondante de la courbe directrice, ces deux projections sont égales.

Ce théorème dcftine immédiatement la construction géométrique du rayon de courbure de la courbe mn quand la courbe polaire auxiliaire est connue.

2° L'aire de la courbe polaire et l'aire de la courbe mn sont égales, ces aires étant terminées, ce qui est toujours possible, par deux rayons égaux et parallèles.

3® Si dans la seconde équation (i) on remplace dr par sa valeur tirée de l'équation polaire auxiliaire, on aura

(i5) dd =^ ds cosus -^ ds cosa;

donc les trois éléments ^o-, ds' , ds sont toujours tels, qu'en leur conservant leur grandeur et leur direction un triangle se trouve construit sur ces éléments. Les angles opposés à ces côtés sont TT — a — Ui, «, «,.