CHAPITRE IV. — NOUVELLES COORDONNÉES, ETC. I o
r el (T étant des fonctions de s; la diiïf^rentielle ds se trouve exprimée en fonction de cette variable, et une intégration donnera la rectification de la courbe polaire.
Tangente y sous-tangente. — La tangente T est le segment de la louchante à la courbe polaire, compris entre le point de contact et la perpendiculaire au rayon langentiel menée par le pôle ; la sous-tangente S< est la projection de ce segment sur la perpendiculaire; on a pour l'expression de ces lignes
r cos«
rds
S/- rtang«
r-^de
Normale^ sous-normale.— La longueur N de la normale à la courbe polaire est le segment déterminé sur la normale à la courbe polaire par la perpendiculaire au rayon tangentiel menée par le pôle. La sous-normale S„ est la projection de ce segment sur cette perpendiculaire. Les expressions de ces lignes sont
sma
S„r-: r cola
de
63. Rayon de courbure. — Dans le cas présent, la formule ( 2 ) du n° 46 devient
de --: de H da ;
divisant par ds, et remplaçant les deux premiers termes par leurs valeurs, on a la relation
ï sin a da
R " ~T~ "^ ds
Remarquons que, d'après l'équation (4) du n° 48, on a
rcola r- ^ -f- -ri de
or, si l'on différentie et qu'on élimine ds du second membre au moyen de la première des équations (i) du n** 62, on a la
lo6 LIVRE 1. — COURBES RAPFORTÉES A DIVERS SYSTÈMES, ETC.
relation
da sin'rt? d
ds r de
On aura donc celle première expression de la courbure de la courbe polaire
//2/v ' sin« s'in'a d \ ( dr\']
si l'on élimine a entre celle équation et celle précédemment posée, on aura l'équation
dans laquelle le second membre s'exprime immédiatement en fonction de l'angle polaire s.
Il est inutile de remarquer que, si la courbe des pôles se réduit à un point, alors on obtient le rayon de courbure d'une courbe en fonction des coordonnées polaires.
Différentielle de l'aire. — L'aire balayée par le rayon tangentiel a pour différentielle une des expressions calculées des ir' 46 et 48.
ISouvelles formes de la courbure. — Si de l'équation
I __ sin^ da lï ^ "7~ "^ ds
on élimine ds au moyen de la deuxième des équations (i) du n" 62, on trouvera
ç^,,, I <y(rsin«) sin«<:/o-
Or, en ayant égard à la troisième des équations (i), on trou-
