NOUVELLES COORDONNÉES TANGENTIELLES. SYSTÈME INVERSE

^m 61. Définitions. — Supposons qu'une courbe mn soit donnée. Si par un point A de celte courbe on mène une tangente à cette courbe, et que l'on prenne sur celte tangente, à partir du point A et dans un sens convenu, une longueur variant d'après une loi donnée avec l'angle que fait la tangente au point A avec une tangente initiale au point Ao menée à la même courbe, l'extrémité de cette longueur engendrera une courbe PQ, lorsque A prendra toutes les positions possibles sur la courbe mn. La courbe mn sera quelquefois appelée courbe des pôles, et la courbe PQ la courbe polaire.

La longueur comptée sur la tangente à partir de son point de contact avec la courbe mn est le rayon tangentiel {kO) r; il est positif ou négatif suivant qu'on le compte sur la tangente d'un côté ou de l'autre à partir du point A.

L'angle qui fait la partie positive du rayon langeniiel en un point A de la courbe des pôles avec une direction fixe AoB,. sera appelé angle polaire et constamment représenté par e.

Un point quelconque du plan de la courbe mn sera déterminé par des valeurs convenables de e et de r. Ces deux grandeurs seront donc les coordonnées du point.

ISi l'on représente par a l'arc de la courbe mn, compté à partir d'une origine fixe et par -7- — '-p'(e) l'équation élémentaire de celte courbe, l'arc «r sera déterminé par la valeur de l'angle polaire e.

L'équation élémentaire de la courbe des pôles étant donnée, l'équation de la courbe polaire, dans le nouveau système coor-

Io4 LIVRE I. — COURBES RAPPORTÉES A DIVERS SYSTÈMES, ETC.

donnée, sera une relation entre r et z :

62. Équations différentielles de la courbe polaire (fig. i4). — Il est facile de voir que le présent système des coordonnées

Fig. i\.

est l'inverse du système dont nous nous sommes occupé dans le Chapitre III. Les équations différentielles de la courbe polaire, par rapport à la courbe des pôles, seront les mêmes que celles que nous avons trouvées dans le n° 46, dans lesquelles la courbe directrice se confond avec la courbe polaire que nous venons de définir; en conservant donc les mêmes conventions et les mêmes notations du n'' 46, nous transcrivons les formules (i) de ce numéro

sma

rdz ~ds '

COSa rrr

dr -- d(T ds

cola

de

dans lesquelles a- est compté en sens inverse, et l'angle a à partir de l'autre côté de la tangente à la courbe des pôles.

Différentielle de l'arc de la courbe polaire. — Si l'on forme le carré des deux premières équations (i) et qu'on ajoute, on trouve l'équation