PROPRIÉTÉ DONNÉE

64. Problème I. — Étant donnée une courbe (fig. i5) -r- =:=: ^, ^ étant une fonction de e, on prend sur les différentes tan-

Fig. i5.

gentesy à partir des points de contact, des longueurs constantes égales à 6, lieu des extrémités de ces longueurs.

Tangente. — Les données sont

La troisième des équations (i) du n** 62 donne (2) , ôr=:^iang«.

Cette équation donne la tangente à la courbe polaire; elle montre que l'hypoténuse du triangle rectangle, dont les deux côtés sont Si. et by est la normale à cette courbe.

Rayon de courbure, — Si l'on a égard aux équations précédentes, la formule (6') du n" 63 devient

I I sinflcos«^'

^ ' Kcôsâ"^ ^^

Or sinacos«^' est la longueur que l'on obtient en projetant SK! sur la direction de la normale à la courbe polaire, et celle projection sur la normale à la courbe des pôles; le dernier terme de l'équation précédente est donc l'inverse de la troisième proportionnelle à .R et à cette projection.

Soit jxc cette troisième proportionnelle comptée à partir du pôle IX sur la normale à la courbe des pôles, //.Ri le double de son rayon de courbure, et /y.R, la projection de la projection du rayon de courbure R sur cette normale. L'équation précédente devient

Donc les quatre points /u., «R,, R,, c forment une proportion harmonique : ce qui donne la construction du rayon de courbure de la courbe polaire.

Si l'on veut exprimer le rayon de courbure en fonction de l'angle polaire e, on fera usage de la formule (6") du n" 63, et on trouvera l'expression