CHAPITRE IV. — NOUVELLES COORDONNÉES, ETC. IO

Théorèmes résultants. — Soil N la normale à la courbe polaire, on a N'rzi 62-4- <a% et l'équation (7) du même numéro donne

Ja ^'sin«

si l'on se reporte aux théorèmes du n** 50, on lire de celle équation la proposition suivante : Si Von faisait rouler sur la courbe polaire une courbe dont le rayon de courbure serait une troisième proportionnelle à^ et à la projection de <R' sur la normale à la polaire, la droite, déterminée dans le plan de la courbe roulante, de manière à être perpendiculaire , dans une position initiale, à la tangente de la courbe polaire, aurait pour enveloppe une développante de la courbe des pôles.

On voit aussi qu'il en résulte ce théorème : Si, par le point de contact de la tangente à la courbe des pôles, on élève une normale, et que, la normale et la tangente formant un système rigide, la normale roule sans glisser sur la développée de la courbe des pôles, l'extrémité de la tangente engendrera la courbe que nous étudions.

Il résulte encore de là celle troisième proposition : Un point A, pris dans le plan de ces deux droites, engendre une courbe de même espèce que la courbe étudiée.

En effet, de ce point, abaissons une perpendiculaire à la normale; le pied de celle perpendiculaire engendrera, par rapport à celte courbe parallèle, le lieu des extrémités des tangentes de longueur donnée.

Quadrature. — L'une des formules du n° 46 donne

du-^

^^b^de;

d'où

l'on lire 1

'équation

Uo--

eo).

Laire balayée parle rayon tangentiel est égale à l'aire d'un secteur circulaire dont le rayon est b, et l'angle (e — So) : ce qui est conforme aux formules du n° 44.

Rectification. — La différenlielle de l'arc est donnée par la formule

(7) ds'—{r'-h^')dz\

laquelle dépend de la nature de la fonction de e qui donne la valeur de <R.

Équation élémentaire de la courbe. — Elle s'obtient en remplaçant dans l'équation précédente, ou bien dans l'équation qui donne le rayon de courbure, e par sa valeur en fonction de e; or on a la relation

a —- arc cot ==:

et par suite

?=£-!- arc cotr

£ est donc connu

en fonction de e.

65. Problème II. — La courbe des pôles est donnée; trouver la polaire telle, que sa sous-normale soit constante.

Coordonnées tangentielles. — Soit b la sous-normale (fig- 16);

Fig 16.

les données de !a question sont

(i) 51"^*^' r==r6langa.